Sturms sammenligningssætning

Sturms sammenligningssætning er en klassisk sætning, der giver et kriterium for ikke- oscillation af løsninger af nogle lineære differentialligninger .

Opkaldt efter Jacques Charles François Sturm . [1] En udvidet version af sætningen angivet nedenfor blev opnået af Mauro Picone . [2]

Ordlyd

Lad p i , q i i = 1, 2 , være kontinuerlige funktioner med reel værdi på intervallet [ a , b ] og lad

$(p_{1}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{1}(x)y=0$
$(p_{2}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{2}(x)y=0$

er to homogene andenordens lineære differentialligninger i selvadjoint form med

0<p_{2}(x)\leq p_{1}(x)

q_{2}(x)\geq q_{1}(x).

Lad u være en ikke-triviel løsning af (1) med successive rødder i z 1 og z 2 , og lad v være en ikke-triviel løsning af (2). Så gælder en af følgende egenskaber:

Der er x i ( z 1 , z 2 ) således at v ( x ) = 0; eller
Løsningerne u og v er proportionale; det vil sige, at der er en λ i R , således at v ( x ) = λ u ( x ) .

Se også

Rauchs sammenligningssætning er et grundlæggende resultat af Riemannsk geometri opnået ved at anvende Sturms sammenligningssætning.

Noter

↑ C. Sturm, Mémoire sur les équations différentielles linéaires du second ordre, J. Math. Pures Appl. 1 (1836), 106-186
↑ M. Picone, Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un'equazione differenziale lineare ordinaria del second'ordine, Ann. Scuola Norm. Pisa 11 (1909), 1-141.