Sætning om at skære et kvadrat i trekanter med samme areal

Sætningen om at skære et kvadrat i trekanter med samme areal siger, at et kvadrat ikke kan skæres i et ulige antal trekanter med samme areal [1] .

Sætningen er berømt for sit uventede bevis ved hjælp af 2-adic-normen .

Historie

Problemet blev stillet af Fred Richman i American Mathematical Monthly i 1965 og løst af Paul Monsky i 1970 [2] .

Om bevis

Ved hjælp af 2-adiske tal konstrueres en bestemt trefarvet farvning af punkterne på enhedsfirkanten.

De vigtigste egenskaber ved farvning er som følger:

1. Arealet af enhver trekant med hjørner af forskellige farver kan ikke udtrykkes som en brøkdel med en ulige tæller og nævner.
   • Især hvis der var en opdeling af en firkant i et ulige antal lige store trekanter, så ville ingen af ​​trekanterne have hjørner af alle tre farver.
2. Enhver lige linje er malet med præcis to farver.

Denne og nogle andre egenskaber ved denne farve fører til en modsigelse med Sperners lemma .

Variationer og generaliseringer

• -Dimensional terning kan kun opdeles i simplices af samme volumen, hvis antallet af simplices er et multiplum af [3] [4] .
• Beviset for sætningen indebærer også eksistensen af ​​firkanter, der ikke kan skæres i trekanter med samme areal.
• For et heltal kan en regulær -gon skæres i trekanter med lige areal, hvis og kun hvis den er delelig med [5] .
• Ingen zonogon kan skæres i et ulige antal trekanter med lige store arealer . Dette faktum blev bevist af den samme Paul Monsky efter hovedsætningen [6] [7] .

Noter

1. ↑ Martin Aigner, Günter M. Ziegler. En firkant og et ulige antal trekanter // Proofs from The Book . — 4. - Berlin, 2010. - S.  131-138 . - ISBN 978-3-642-00856-6 . - doi : 10.1007/978-3-642-00856-6_20 .
2. ↑ P. Monsky. On Dividing a Square into Triangles  //  The American Mathematical Monthly  : journal. - 1970. - Bd. 77 , nr. 2 . - S. 161-164 . - doi : 10.2307/2317329 . MR : 0252233 _
3. ↑ Mead, David G. (september 1979), Dissection of the hypercube into simplexes , Proceedings of the American Mathematical Society bind 76: 302–304 , DOI 10.1090/S0002-9939-1979-0537093-6 
4. ↑ Sperners Lemma Arkiveret 19. april 2016 på Wayback Machine , Moor Xu
5. ↑ EA Kasimatis, Dissektioner af regulære polygoner i trekanter med lige store arealer, Discrete & Computational Geometry, august 1989, bind 4, udgave 4, s. 375-381
6. ↑ Monsky, Paul (1990), A conjecture of Stein on plane dissections , Mathematische Zeitschrift T. 205 (4): 583–592 , DOI 10.1007/BF02571264 
7. ↑ Stein, Sherman & Szabó, Sandor (1994), Algebra and Tiling: Homomorphisms in the Service of Geometry , vol. 25, Carus Mathematical Monographs, Cambridge University Press, s. 130 , ISBN 9780883850282 

Litteratur

• B. Becker, S. Vostokov, Yu. Ionin. 2-adiske tal  // Kvant . - 1979. - T. 2 . - S. 26-31 .