Indskrevet cirkelsætning

Den indskrevne cirkelsætning stammer fra japansk sangaku og henviser til følgende konstruktion: en række stråler tegnes fra et punkt til en given linje , så cirklerne indskrevet i de resulterende trekanter dannet af tilstødende stråler og linjen er ens. I illustrationen definerer de samme blå cirkler vinklen mellem strålerne, som beskrevet ovenfor.

Udtalelse af sætningen

Sætningen siger, at med den ovenfor beskrevne konstruktion er cirklerne indskrevet i trekanter dannet af stråler gennem en (det vil sige opnået ved foreningen af to tilstødende trekanter), gennem to osv., også lige store. Tilfældet med nabotrekanter er vist i figuren med grønne cirkler: de har alle de samme dimensioner.

Ud fra det faktum, at sætningens udsagn ikke afhænger af vinklen mellem den indledende stråle og den givne rette linje, kan man konkludere, at sætningen handler mere om calculus end geometri, og bør relateres til en kontinuert skalafunktion, der bestemmer afstand mellem strålerne. Faktisk er denne funktion den hyperbolske sinus .

Lemma

Sætningen er en direkte konsekvens af følgende lemma .

Antag, at den n . stråle har en vinkel til normalen for grundlinjen. Hvis de parametriseres i henhold til ligheden , definerer værdierne , hvor og er reelle konstanter, en sekvens af stråler, der opfylder betingelserne for incirkel (se ovenfor), og desuden kan enhver sekvens af stråler, der opfylder disse betingelser, opnås ved en passende valg af parametre og . $\gamma_n$ $\gamma_n$ ${\displaystyle \mathrm {tg} \,\gamma _{n}=\mathrm {sh} \,\theta _{n))$ $\theta _{n}=a+nb$ $-en$ $b$ $-en$ $b$

Bevis for lemmaet

På figuren er linjerne PS og PT tilstødende stråler med vinkler og med linje PR vinkelret på grundlinjen RT. $\gamma_n$ $\gamma _{n+1}$

Tegn en linje QY parallelt med grundlinjen gennem midten O af cirklen indskrevet i trekanten PST. Denne cirkel er tangent til strålerne i punkterne W og Z. Segment PQ har længde , og segment QR har længde , som er lig med radius af den indskrevne cirkel. $\trekant$ $hr$ $r$

Så ligner OWX PQX, OZY ligner PQY, og fra XY = XO + OY får vi $\trekant$ $\trekant$ $\trekant$ $\trekant$

(hr)(\mathrm {tg} \,\gamma _{n+1}-\mathrm {tg} \,\gamma _{n})=r(\sec \gamma _{n}+\ sek\gamma _{n+1}).

Dette forhold på sættet af vinkler udtrykker betingelsen om lighed af de indskrevne cirkler. ${\displaystyle \{\gamma _{m}\))$

For at bevise lemmaet satte vi . Dette udtryk kan konverteres til . $\mathrm {tg} \,\gamma _{n}=\mathrm {sh} \,(a+nb)$ $\sec \gamma _{n}=\mathrm {ch} \,(a+nb)$

Ved at bruge lighed anvender vi yderligere regler for og og kontrollerer, at forholdet mellem lighed mellem cirkler er opfyldt af udtrykket $a+(n+1)b=(a+nb)+b$ $\mathrm {sh} \,$ $\mathrm {ch} \,$

{\frac {r}{hr}}=\mathrm {th} \,{\tfrac {b}{2}}.

Vi har fået et udtryk for parameteren i form af de geometriske størrelser og . Yderligere, ved at definere , får vi et udtryk for radierne af de indskrevne cirkler dannet ved at vælge hver N -te stråle som siderne af trekanten: $b$ $h$ $r$ $b$ $r_{N}$

{\frac {r_{N}}{h-r_{N}}}=\mathrm {th} \,{\tfrac {Nb}{2}}.

Se også

Litteratur

Tabov J. En note om fem- cirkelsætningen // Mathematics Magazine. - 1989. - T. 63. - Nr. 2. - S. 92-94.