Picks sætning (kompleks analyse)

Pick 's sætning , eller Schwarz -Pick 's sætning , er en invariant formulering og generalisering af Schwarz' lemma .

Ordlyd

Lad være en regulær analytisk funktion fra enhedscirklen til enhedscirklen $w=f(z)$

Q=\left\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\right\};\;f:Q\to Q.

Så for alle punkter og en cirkel overstiger afstanden i den konforme euklidiske model af Lobachevsky-planet mellem deres billeder ikke afstanden mellem dem: $z_{1}$ $z_{2}$ $Q$

d(w_{1},\;w_{2})\leq d(z_{1},\;z_{2}),\ \ w_{1}=f(z_{1}),\ w_{2}=f(z_{2})

Ydermere opnås lighed kun, når der er en lineær-brøkfunktion, der kortlægger cirklen på sig selv. $w=f(z)$ $Q$

Fordi

\mathop {\rm {th}} [{\tfrac {1}{2}}\cdot d(z,\;w)]={\frac {\left|zw\right|}{\left |1-{\overline {z}}\cdot w\right|}},

tilstand

d(w_{1},\;w_{2})\leqslant d(z_{1},\;z_{2})

svarer til følgende ulighed:

\left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1)))))f(z_{2}) } }\right|\leqslant {\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|1-{\overline {z_{1))}z_{2}\right| } }.

Hvis og er uendeligt tæt på, bliver det til $z_{1}$ $z_{2}$

{\frac {\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^{2))}\leqslant {\frac {1}{1-\left|z \right|^{2}}}.

Vælg G. Mathematische Annalen. - 1916. - Bd 77. - S. 1-6.
Goluzin GM Geometrisk teori om funktioner af en kompleks variabel . - 2. udg. - M., 1966.