Dehns sætning er en rektangelskæringssætning formuleret af Max Dehn i 1900 .
Hvis et rektangel skæres i firkanter (ikke nødvendigvis ens), så er forholdet mellem dets sider rationelt .
I august 1900 fandt den anden internationale matematikkongres sted i Paris . På den præsenterede den tyske matematiker David Hilbert 23 problemer , som han anså for de mest relevante for matematikken i det 20. århundrede. Det tredje problem blev hurtigst løst af Max Dehn, Hilberts elev, i samme 1900. Det lyder sådan her: er en terning og et regulært tetraeder af samme volumen ligeligt sammensat (dvs. kan en terning skæres i flere polyedre og lægge et regulært tetraeder med samme volumen sammen ud fra dem)? M. Den beviste, at en sådan skæring er umulig. For at bevise det introducerede han begrebet Dehn-invarianten. Efter at have løst Hilberts tredje problem formulerede M. Dehn i 1903 rektangelskæringssætningen, i beviset for hvilket han brugte sin invariant.
M. Dehns bevis var ret komplekst og forvirrende. Efterfølgende dukkede andre, enklere beviser op. For eksempel leverede fire elever R. L. Brooks, C. A. B. Smith, A. G. Stone og W. T. Tutt i 1940 et bevis baseret på en fysisk fortolkning ved hjælp af elektriske kredsløb (efter at have fundet den første ikke-trivielle kvadrating af kvadratet ). Det er værd at bemærke det elementære bevis for IM Yaglom , hvor han brugte metoden til at løse et system af lineære ligninger . Et ikke-elementært bevis for Dehns teorem ved hjælp af Hamel - grundlaget var også kendt. For at gøre dette generaliseres begrebet areal , så arealet af et rektangel med et irrationelt forhold mellem sider bliver negativt, mens kvadraternes areal forbliver ikke-negativt. Fedor Sharov oversatte dette bevis til elementært sprog.