Varignons teorem (geometri)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 15. december 2021; checks kræver 5 redigeringer .

Varignons sætning er et geometrisk faktum bevist af Pierre Varignon og siger, at midtpunkterne på siderne af en vilkårlig firkant er hjørnerne af et parallelogram:

En firkant, hvis toppunkter falder sammen med midtpunkterne på siderne af en vilkårlig firkant , er et parallelogram , hvis sider er parallelle med diagonalerne på den oprindelige firkant.

Parallelogrammet dannet af sidernes midtpunkter kaldes undertiden en varinon eller varinon .

Konsekvenser

Centret af Varignon-parallellegrammet ligger i midten af segmentet, der forbinder midtpunkterne på siderne af den oprindelige firkant (i samme punkt skærer segmenterne, der forbinder midtpunkterne på modsatte sider - diagonalerne af Varignon-parallelografien).
Omkredsen af Varignon parallelogrammet er lig med summen af diagonalerne af den oprindelige firkant.
Arealet af Varignon parallelogrammet er lig med halvdelen af arealet af den oprindelige firkant.
For et rektangel og en ligebenet trapezoid er Varignon-parallellegrammet en rhombus , og for en rhombus, et rektangel .
Et Varignon parallelogram er en rombe, hvis og kun hvis i den oprindelige firkant 1) diagonalerne er ens 2) bimedianerne er vinkelrette.
Et Varignon parallelogram er et rektangel, hvis og kun hvis i den oprindelige firkant: 1) diagonalerne er vinkelrette; 2) bimedianerne er lige store.
Et Varignon parallelogram er et kvadrat, hvis og kun hvis i den oprindelige firkant 1) diagonalerne er lige store og vinkelrette; 2) bimedianer er lige store og vinkelrette.

Bevis

Bevis for, at arealet af et parallelogram er halvdelen af arealet af den oprindelige firkant

Lad diagonalen passere inde i firkanten. Så er trekantens areal , hvor er trekantens højde trukket fra toppunktet . På samme måde er arealet af en trekant . Så er arealet af hele firkanten . Men - dette er summen af afstandene til linjen fra punkterne og , det vil sige nøjagtigt højden af parallelogrammet . Og da siden af parallelogrammet er halvt så lang , så er arealet af parallelogrammet lig med halvdelen af arealet , QED $AC$ $ABC$ ${\frac {AC\cdot h_{b}}2}$ $h_{b}$ $ABC$ $B$ $ADC$ ${\frac {AC\cdot h_{d}}2}$ ${\frac {AC(h_{b}+h_{d})}2}$ ${\frac {(h_{b}+h_{d})}2}={\frac {h_{b))2}+{\frac {h_{d))2}$ $AC$ $E$ $H$ $EHGF$ $GH$ $AC$ $ABCD$

konveks firkant	ikke-konveks firkant	selvskærende firkant

Varignons teorem (geometri)

Konsekvenser

Bevis

Bevis for, at arealet af et parallelogram er halvdelen af arealet af den oprindelige firkant

Se også

Noter

Varignons teorem (geometri)

Konsekvenser

Bevis

Bevis for, at arealet af et parallelogram er halvdelen af ​​arealet af den oprindelige firkant

Se også

Noter

Bevis for, at arealet af et parallelogram er halvdelen af arealet af den oprindelige firkant