Newtons linje

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 21. oktober 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Newtons linje er en linje, der forbinder midtpunkterne af diagonalerne på en firkant.

Sætning

Hvis i en firkant to par af modsatte sider ikke er parallelle, så ligger de to midtpunkter af dens diagonaler på en lige linje, der passerer gennem midtpunktet af segmentet, der forbinder skæringspunkterne mellem disse modsatte sider. Denne rette linje kaldes Newtons rette linje (vist som en tyk linje på figuren).

Tilsvarende formulering:

Hvis en ret linje, der ikke passerer gennem spidserne af en trekant, skærer dens sider ved henholdsvis punkter , så er segmenternes midtpunkter kollineære . $ABC$ $BC,CA,AB$ $A_{1},B_{1},C_{1}$ $AA_{1},BB_{1},CC_{1}$

Kommentarer

Sætningen kan udledes af Menelaos' sætning .
I den anden formulering kan man bemærke, at linjerne er lige store. De danner en konfiguration kaldet en komplet firkant . Linjen, hvorpå midtpunkterne af disse segmenter ligger, kaldes firkantens Newton-linje. $AB,BC,CA,A_{1}B_{1}$

Hvis fire linjer rører en cirkel, så ligger centrum af denne cirkel på den samme Newton-linje. Dette udsagn kaldes Newtons sætning .

Egenskaber

Newtons linje er vinkelret på Aubers linje .
På Newtons linje ligger også skæringspunktet mellem to midterlinjer, der forbinder midtpunkterne på modsatte sider af en konveks firkant (firkantens første og anden midterlinje ).
Annas teorem , opkaldt efter den franske matematiker Pierre Léon Anne ( fr. Pierre-Léon Anne , 1806-1850), siger, at i enhverikke-parallelografisk firkant er Newtons linje stedet for punkter, der har egenskaben: $ABCD$ $O$ $S(\triangle AOB)+S(\triangle COD)=S(\triangle BOC)+S(\triangle DOA)$ ,

hvor betyder det orienterede område [1] .

S(\triangle AOB)

\triangle AOB

Note 1. Hvis punktet ligger inde i firkanten , vil det for eksempel blot betyde trekantens areal. $O$ $ABCD$ $S(\triangle AOB)$
Bemærkning 2. Ved Newtons sætning går Newtonlinjen i den omskrevne firkant gennem midten P af dens indskrevne cirkel. For midten P af firkantens indskrevne cirkel er Annas sætning indlysende, da summen af modstående sider i den omskrevne firkant er lige store, og højderne af de fire trekanter i Annas sætning med et fælles toppunkt P , hvori firkanten er divideret med punktet P , er ens og lig med radius af firkantens indskrevne cirkel.

Formel

Hvis formlerne for linjerne i en firkant i kartesiske koordinater har formen

a_{i}x+b_{i}y=c_{i},\quad i={\overline {1,4}}\,,

så er Newtonlinjen, der svarer til den, givet ved ligningen

\det(D)\,x+\det(E)\,y={\frac {\det(F)}{2)),

hvor er matricer af størrelse hvori $D=(d_{ij}),\,E=(e_{ij}),\,F=(f_{ij})$ $4\ gange 4,$

d_{i1}=e_{i1}=f_{i1}=a_{i}^{2},\quad d_{i2}=e_{i2}=f_{i2}=b_{i}^{ 2},\quad d_{i3}=e_{i3}=f_{i3}=a_{i}b_{i},

d_{i4}=a_{i}c_{i},\quad e_{i4}=b_{i}c_{i},\quad f_{i4}=c_{i}^{2},\ quad i={\overline {1,4}}.

Newton-Gauss linje

Newton-Gauss- linjen er en linje, der forbinder midtpunkterne af de tre diagonaler af en komplet firkant .

Midtpunkterne af de to diagonaler af en konveks firkant , som ikke har mere end to parallelle sider, er forskellige og definerer derfor en ret linje ( Newtons linje ). Hvis siderne af en sådan firkant fortsættes til at lave en komplet firkant , forbliver diagonalerne på firkanten diagonalerne af hele firkanten, og Newton-linjen på firkanten kaldes Newton-Gauss-linjen for den komplette firkant.

Se også

Noter

↑ Samling af artikler. Matematisk uddannelse. Tredje serie. Udgave 11 . — Liter, 2015-12-02. - S. 65-66. — 177 s. — ISBN 9785457931350 .

Litteratur

Ponarin Ya. P. Elementær geometri. I 2 bind - M . : MTSNMO , 2004. - S. 74. - ISBN 5-94057-170-0 .