Tensor bundt

Et tensorbundt af typen på en differentierbar manifold er et vektorbundt over , forbundet med bundtet af tangentrammer og har som standardfiber rummet af tensorer af typen på , hvori gruppen virker ved hjælp af en tensorrepræsentation. For eksempel falder det sammen med tangentbundtet over , a falder sammen med cotangensbundtet . $(p,\;q)$ $M$ $T^{{p,\;q}}(M)$ $M$ $T^{p,\;q}(\mathbb {R} ^{n})$ $(p,\;q)$ $\mathbb {R} ^{n}$ $GL(n,\;\mathbb {R} )$ $T^{1,\;0}(M)$ $T(M)$ $M$ $T^{0,\;1}(M)$ $T(M)^{*}$

Generelt er et tensorbundt isomorft med tensorproduktet af tangent- og cotangensbundter:

T^{p,\;q}(M)\cong {\overset {p}{\bigotimes }}\,T(M)\,\bigotimes \,{\overset {q}{\bigotimes } }\,T(M)^{*}.

Selve bundterne er kun grundlaget for at konstruere sektioner af tensorbundter af type , som kaldes tensorfelter af type og er hovedobjektet for undersøgelse i differentialgeometri . Så for eksempel er en Riemann-struktur på en glat sektion af bundtet , hvis værdier er positive-definite symmetriske former . $(p,\;q)$ $(p,\;q)$ $M$ $T^{0,\;2}(M)$

Glatte dele af bundtet danner et modul over algebraen af glatte funktioner på . Hvis er en parakompakt manifold , så $T^{{p,\;q}}(M)$ $D^{p,\;q}(M)$ $F^{\infty }(M)=D^{0,\;0}(M)$ $M$ $M$

D^{p,\;q}(M)\cong {\overset {p}{\bigotimes }}\,D^{1}(M)\,\bigotimes \,{\overset {q} {\bigotimes }}\,D^{1}(M)^{*},

hvor er modulet for glatte vektorfelter , er modulet for Pfaffiske differentialformer, og tensorprodukter overtages . $D^{1}(M)=D^{1,\;0}(M)$ $D^{1}(M)^{*}=D^{0,\;1}(M)$ $F^{\infty }(M)$

I klassisk differentialgeometri kaldes tensorfelter nogle gange blot for tensorer på . $M$

Litteratur

Kobayashi Sh., Nomizu K. Fundamentals of differential geometri. - M. : Novokuznetsk Institut for Fysik og Matematik, 1999. - T. 1. - 344 s. - ISBN 5-80323-180-0 . .
Helgason S. Differentialgeometri, Lie-grupper og symmetriske rum. - M . : Factorial Press, 2005. - 608 s. - (XX århundrede. Matematik og mekanik). — ISBN 5-88688-076-3 . .