Skyggeregning

Skyggeregning (fra engelsk Umbral calculus , videre fra latin umbra - "skygge") er en matematisk metode til at opnå nogle algebraiske identiteter. Indtil 1970'erne refererede udtrykket til ligheden mellem visse tilsyneladende ikke-relaterede algebraiske identiteter , såvel som de teknikker, der blev brugt til at bevise disse identiteter. Disse teknikker blev foreslået af John Blissard [1] og omtales nogle gange som Blissards symbolske metode . De tilskrives ofte Edward Lucas (eller James Joseph Sylvester ), som brugte dem flittigt [2] .

I 1930'erne og 1940'erne forsøgte Eric Temple Bell at sætte skyggeregning på et strengt grundlag.

I 1970'erne udviklede Stephen Roman, Gian-Carlo Rota og andre skyggeregningen i betydningen lineære funktionaler på polynomiers rum. I øjeblikket refererer skyggeregning til studiet af Schaeffer-sekvenser , herunder sekvenser af binomial-type polynomier og Appel-sekvenser , men kan omfatte finite difference calculus -teknikker .

Skyggeregning i det 19. århundrede

Metoden er en notationsprocedure, der bruges til resulterende identiteter, der involverer indekserede talsekvenser, forudsat at indeksene er potenser af . Den bogstavelige brug er absurd, men den fungerer med succes - identiteterne opnået ved hjælp af skyggeregningen kan opnås korrekt ved hjælp af mere komplekse metoder, der kan bruges bogstaveligt talt uden logiske vanskeligheder.

Eksemplet bruger Bernoulli polynomier . Overvej for eksempel den sædvanlige binomiale ekspansion (som indeholder binomiale koefficienter ):

{\displaystyle (y+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}y^{nk}x^{k))

og en bemærkelsesværdig ens udseende relation for Bernoulli polynomier :

B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{nk}(y)x^{k}.

Vi sammenligner også den første afledte

{\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}

med en meget lignende relation for Bernoulli polynomier:

{\frac {d}{dx}}B_{n}(x)=nB_{n-1}(x).

Disse ligheder tillader konstruktionen af skyggebeviser , som ved første øjekast måske ikke er sande, men som stadig virker. Så hvis vi for eksempel tænker på, at indekset er en grad: $nk$

B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b^{nk}x^{k}=(b+x)^{n},

efter differentiering får vi det ønskede resultat:

B_{n}'(x)=n(b+x)^{n-1}=nB_{n-1}(x).

I formlerne ovenfor er "umbra" (det latinske ord for "skygge"). $b$

Se også Faulhaber formel .

Taylors skygge rangerer

Lignende forbindelser er også blevet observeret i teorien om endelige forskelle . Skyggeversionen af Taylor-serien er givet ved lignende udtryk ved hjælp af de højre forskelle i polynomiet , $k$ $\Delta ^{k}[f]$ $f$

f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](0)}{k!))(x)_{k}

hvor

(x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)

er Pochhammer-symbolet , der bruges her til at repræsentere den faldende faktor. Et lignende forhold gælder for venstresidige forskelle og stigende faktoraler.

Disse serier er også kendt som Newtons serie eller Newtons højre udvidelse . En analog af Taylor-udvidelsen bruges i finite difference calculus .

Bell og Riordan

I 1930'erne og 1940'erne forsøgte Eric Temple Bell uden held at gøre denne form for argumentation logisk streng. John Riordan, der arbejdede inden for kombinatorik , brugte denne teknik i vid udstrækning i sin bog Combinatorial Identities (Combinatorial Identities), udgivet i 1960'erne.

Moderne skyggeregning

En anden videnskabsmand inden for kombinatorik, Gian-Carlo Rota, påpegede, at mysteriet forsvinder, hvis vi betragter en lineær funktionel over polynomier fra , defineret som $L$ $z$

L\left(z^{n}\right)=B_{n}(0)=B_{n}.

Så ved at bruge definitionen af Bernoulli polynomier og definitionen af linearitet , kan man skrive $L$

B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{nk}x^{k}=\sum _{k=0}^{n }{n \vælg k}L\venstre(z^{nk}\højre)x^{k}=L\venstre(\sum _{k=0}^{n}{n \vælg k}z^{ nk}x^{k}\right)=L\venstre((z+x)^{n}\right).

Dette giver dig mulighed for at erstatte posten med , det vil sige flytte fra det nederste indeks til det øverste (nøgleoperationen til skyggeregning). Det kan vi for eksempel nu bevise $B_{n}(x)$ $L((z+x)^{n})$ $n$

{\displaystyle B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{nk}(y)x^{k))

ved at udvide højre side

\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{nk}(y)x^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}L\venstre((z+y)^{nk}\right)x^{k}=L\venstre(\sum _{k=0}^{n}{n \vælg k}(z+y )^{nk}x^{k}\right)=L\venstre((z+x+y)^{n}\right)=B_{n}(x+y).

Rota hævdede senere, at meget af forvirringen skyldtes manglende skelnen mellem de tre ækvivalensrelationer, der opstår på dette område.

I et papir fra 1964 brugte Rota skyggemetoder til at etablere en rekursionsformel , der opfyldes af Bell-tal , som tæller antallet af partitioner af endelige sæt.

I artiklen af Roman og Rota [3] beskrives skyggeregning som studiet af en skyggealgebra (umbral algebra ) defineret som en algebra af lineære funktionaler over et vektorrum af polynomier fra med et produkt af lineære funktionaler defineret som $x$ ${\displaystyle L_{1}L_{2))$

\langle L_{1}L_{2}\mid x^{n}\rangle =\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\langle L_{1}\mid x ^{k}\rangle \langle L_{2}\mid x^{nk}\rangle .

Hvis en sekvens af polynomier erstatter en sekvens af tal som billeder under en lineær afbildning , ser skyggemetoden ud til at være en væsentlig del af Roths generelle teori om specielle polynomier, og denne teori er skyggeregning under nogle mere moderne definitioner af begrebet [4 ] . Et lille eksempel på denne teori kan findes i artiklen om rækkefølgen af polynomier af binomial type . En anden artikel er Schaeffer Sequence . ${\displaystyle y^{n))$ $L$

Rota anvendte senere skyggeregningen udførligt i et fælles papir med Shen for at studere forskellige kombinatoriske egenskaber ved semi-invarianter [5] .

Noter

↑ Blissard, 1861 .
↑ Bell, 1938 , s. 414-421.
↑ Roman, Rota, 1978 , s. 95-188.
↑ Rota, Kahaner, Odlyzko, 1973 , s. 684.
↑ Rota, Shen, 2000 , s. 283-304.

Litteratur

Bell ET Historien om Blissards symbolske metode, med en skitse af dens opfinders liv // The American Mathematical Monthly . - Mathematical Association of America , 1938. - V. 45 , no. 7 . — S. 414–421 . — ISSN 0002-9890 . — .
John Blissard. Teori om generiske ligninger // Det kvartalsvise tidsskrift for ren og anvendt matematik. - 1861. - T. 4 . — S. 279–305 .
Steven M. Roman, Gian-Carlo Rota. Umbralregningen // Fremskridt i matematik. - 1978. - T. 27 , no. 2 . — S. 95–188 . — ISSN 0001-8708 . - doi : 10.1016/0001-8708(78)90087-7 .
Rota GC, Kahaner D., Odlyzko A. Om grundlaget for kombinatorisk teori. VIII. Finite operator calculus // Journal of Mathematical Analysis and its Applications. - 1973. - Juni ( bind 42 , hæfte 3 ). - S. 684 . - doi : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 . Genoptrykt i bogen med samme titel, Academic Press, New York, 1975.

Steve Roman. Umbralregningen . — London: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], 1984. - Vol. 111. - (Ren og anvendt matematik). — ISBN 978-0-12-594380-2 . . Genoptrykt af Dover, 2005.
Roman S. Umbralregning // Encyclopedia of Mathematics / Michiel Hazewinkel. - Springer Science+Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Rota G.-C. , Shen J. On the Combinatorics of Cumulants // Journal of Combinatorial Theory. - 2000. - T. 91 . — S. 283–304 .