Konverteringsordning
Aksiomskema for erstatning er følgende forslag til mængdeteori :
- , hvor
![{\displaystyle \forall x\exists ^{\{1\}}y\ (\phi [x,y])\to \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\ )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6d99111e6dfacf23d1bd36efc8a06eca82891f5)
![{\displaystyle \forall x\exists ^{\{1\}}y\ (\phi [x,y])\Leftrightarrow \forall x\exists !y\ (\phi [x,y])\Leftrightarrow \forall x\eksisterer y\forall y'(\phi [x,y]\leftrightarrow y=y')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c0effd6518671747750df776979e0d447d8cecf)
Transformationsskemaet kan formuleres på russisk, nemlig: "Ethvert sæt kan transformeres til [det samme eller et andet] sæt ved at udtrykke en funktionel bedømmelse om alle elementer i dette sæt ."
Eksempel I det følgende eksempel transformerer en funktionel bedømmelse hvert sæt til sig selv.
![\phi [x,y]\venstrepil y=x\quad \Højrepil \quad \forall a\eksisterer d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c= b))\quad \Leftrightarrow \quad \forall a\eksisterer d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in a)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87ad526219eb846bd217de2e3629f01cd1c9d41d)
Andre formuleringer af transformationsskemaet
Transformationsskemaet er også skrevet i følgende form:
![{\displaystyle \forall a\ (\ \forall b\ (b\in a\to \eksisterer ^{\{1\}}y\ (\phi [b,y])\ )\quad \to \quad \ eksisterer d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\ ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e221b8cfa9d98bad98683d272dab78c6bcd3d3f4)
![{\begin{aligned}a={\mathbb {N}}\ \land \ (\phi [b',y]\leftrightarrow y=2b')\quad \Rightarrow \quad \exists d\forall c\ (c \i d\venstrehøjrepil \exists b\ (b\i {\mathbb {N))\ \land \ c=2b))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\ i \{0,2,4,...\})\end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac0e63ee288d0d4aac68b496224ce77597bb453a)
![{\begin{aligned}a={\mathbb {R}}\quad \land \quad (\phi [b',y]\leftrightarrow (b'=0\to y=a_{1})\ \land \ (b'\neq 0\to y=a_{2}))\quad \Rightarrow \\\ \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in {\mathbb {R }}\ \land \ (b=0\to c=a_{1})\land (b\neq 0\to c=a_{2})\ ))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c=a_{1}\ \lor \ c=a_{2})\end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/562294cf3a7036c3f4b0588d9f0247e1d9535e5a)
![{\begin{aligned}a={\mathbb {Z}}\quad \land \quad (\phi [b',y]\leftrightarrow (0\leq b'\leq 1\to y=b')\land (\neg (0\leq b'\leq 1)\to y=1))\quad \Rightarrow \\\ \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in { \mathbb {Z}}\land (0\leq b\leq 1\to c=b)\land (b<0\lor b>1\to c=1)))\\\ \Leftrightarrow \exists d\ forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{n:\ n\in {\mathbb {N}}\ \land \ n<2\}\ )\end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f445dafb78f598388851fca2cb6ceeca52232124)
Transformationsskemaet er også skrevet i følgende form:
- , hvor
![{\displaystyle \forall a\ (\ \forall b\ (b\in a\to \eksisterer ^{\{0,1\}}y\ (\phi [b,y]))\quad \to \quad \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\ ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4f7f709637f54fb1788ce624d609d71d96fe25c)
![{\displaystyle \exists ^{\{0,1\}}y\ (\phi [b,y])\Leftrightarrow \forall y\forall y'\ (\phi [b,y]\ \land \ \phi [b,y']\to y=y')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f11c89ab2a6e6d3076ae199208d44bffe1d207d)
Von Neumann beviste, at dette aksiom følger af størrelsesbegrænsningens aksiom . Transformationsskemaaksiomet kan udtrykkes som: hvis F er en funktion og A er en mængde, så er F ( A ) en mængde.
Noter
1. Forbindelsen mellem transformationsskemaet og paraksiomet er udtrykt ved følgende udsagn:
![{\begin{aligned}\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))\quad \land \quad (\ phi [b',y]\ \leftrightarrow \ (b'=\varnothing \to y=a_{1})\land (b'\neq \varnothing \to y=a_{2})\ )\\\ \ højrepil \quad (\exists d\forall c\ (c\in d\ \leftrightarrow \ \exists b\ (b\in a\land \phi [b,c]))\ \rightarrow \ \exists c\forall b \ (b\in c\leftrightarrow b=a_{1}\lor b=a_{2})\ )),\end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7d8cc95fb9192ed314de121d2af4c9c78dba338)
2. Sammenhængen mellem transformationsordningen og udvælgelsesordningen er udtrykt ved følgende udsagn:
![{\begin{aligned}\forall a\ (\ x\in \{b:b\in a\land \Phi [b]\}\quad \land \quad (\phi [b',y]\ \leftrightarrow \ (\Phi [b']\til y=b')\land (\neg \Phi [b']\til y=x)\ )\\\ \til \quad (\eksisterer d\forall c\ ( c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\land \phi [b,c]))\ \leftrightarrow \ \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\land \Phi [b]))\ )\end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d044534bf04a21cdf6bd26c2bec7c195d5df8e43)
Historisk baggrund
Transformationsskemaet var ikke inkluderet i de mængdeteoretiske aksiomer formuleret af den tyske matematiker Ernst Zermelo i 1908.
Transformationsordningen blev foreslået af Adolf Frenkel i 1922 , lidt senere og uafhængigt af ham blev ordningen foreslået af den norske matematiker Turalf Skolem .