Supersymmetrisk kvantemekanik

I teoretisk fysik er supersymmetrisk kvantemekanik et fagområde, hvor matematiske begreber fra højenergifysikkens felt anvendes på kvantemekanikkens felt . Supersymmetri, der forstås som transformationen fra bosoniske til fermioniske operatorer og omvendt, kombinerer kontinuerlige (bosoniske) og diskrete (fermioniske) transformationer. I moderne teori er bosoner forbundet med bærere af interaktion og fermioner med stof, men supersymmetri var i stand til at kombinere disse to begreber. Supersymmetri viste sig også at være nyttig til at håndtere divergenser i kvantefeltteori, hvilket førte til interesse for denne teori [1] .

Introduktion

Det er matematisk vanskeligt at bevise konsekvenserne af supersymmetri , og det er også vanskeligt at udvikle en teori, der kunne påvise symmetribrud, det vil sige fraværet af observerbare partnere til partikler med samme masse. For at gøre fremskridt med disse problemer udviklede fysikere supersymmetrisk kvantemekanik , dvs. teorien om at anvende supersymmetrisk superalgebra til kvantemekanik i modsætning til kvantefeltteori . Det er håbet, at studiet af implikationerne af supersymmetri i denne enkle setting vil føre til ny indsigt; det er bemærkelsesværdigt, at de medfølgende fremskridt har ført til skabelsen af nye forskningslinjer inden for selve kvantemekanikken.

For eksempel lærer eleverne normalt at "løse" brintatomet som en besværlig proces, der starter med at inkorporere Coulomb- potentialet i Schrödinger-ligningen . Efter en betydelig mængde arbejde ved hjælp af mange differentialligninger opnås gentagelsesrelationer for Laguerre-polynomier ved analyse . Det endelige resultat er spektret : brintatomets energitilstande (angivet med kvantetallene n og l ). Med ideer hentet fra supersymmetri kan slutresultatet opnås til en meget lavere pris, stort set på samme måde som med operatørmetoden til løsning af den harmoniske oscillator . [2] En lignende supersymmetrisk tilgang kan bruges til mere præcist at finde brintspektret ved hjælp af Dirac-ligningerne. [3] Ironisk nok ligner denne tilgang den måde, Erwin Schrödinger først brugte brintatomet på . [4] [5] Selvfølgelig kaldte han ikke sin løsning supersymmetrisk, da teorien om supersymmetri selv dukkede op tredive år senere.

Den supersymmetriske opløsning af hydrogenatomet er blot et eksempel på en meget generel klasse af løsninger: invariante formpotentialer . form-invariante potentialer . Denne kategori omfatter de fleste af potentialerne, der undervises i indledende kvantemekanikkurser.

Supersymmetrisk kvantemekanik involverer par af Hamiltonianere , mellem hvilke der er specifikke matematiske forhold. De kaldes partner Hamiltonians . partner Hamiltonians . Så kaldes de tilsvarende potentialer i Hamiltonians partnerpotentialer . partnerpotentialer ). Hovedsætningen viser, at for alle egentilstande for en Hamiltonianer har dens Hamiltonske partner tilsvarende egentilstande med samme energi (med mulig undtagelse af nul-energi egentilstande . Dette faktum kan bruges til at udlede mange egenskaber af egentilstandsspektret. Dette er analogt til den oprindelige beskrivelse af supersymmetri, som vedrører bosoner og fermioner. Vi kan forestille os en "bosonisk Hamiltonianer", hvis tilstande er forskellige bosoner af vores teori. Den supersymmetriske partner til denne Hamiltonianer vil være "Fermion", og dens egentilstande vil beskrive fermioner. Hver boson svarer til en fermionisk partner med samme energi - men i en relativistisk verden er energi og masse udskiftelige, så vi kan simpelthen sige, at partnerpartiklerne har lige store masser.

Begrebet supersymmetri giver nyttige udvidelser til WKB-tilnærmelsen i form af en modificeret version af Bohr-Sommerfeld-kvantiseringstilstanden. Derudover anvendes supersymmetri i ikke-kvantestatistisk mekanik ved hjælp af Fokker-Planck-ligningen . Dette eksempel viser, at selvom den oprindelige idé i partikelfysik fører til en blindgyde, har dens udforskning på andre områder udvidet vores forståelse.

Eksempel: harmonisk oscillator

Schrödinger-ligningen for en harmonisk oscillator har formen

H^{HO}\psi _{n}(x)={\bigg (}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{ dx^{2))}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}{\bigg )}\psi _{n}(x)=E_{n}^{ HO}\psi _{n}(x),

hvor er det th niveau med energi . Vi ønsker at finde et udtryk for som funktion af . Lad os definere operatørerne $\psi _{n}(x)$ $n$ $H^{HO}$ $E_{n}^{HO}$ $E_{n}^{HO}$ $n$

A={\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}{\frac {d}{dx}}+W(x)

A^{\dolk }=-{\frac {\hbar }{\sqrt {2m))}{\frac {d}{dx}}+W(x),

hvor , som vi selv skal vælge, kaldes superpotentiale . Lad os definere Hamiltonians-partnerne og hvordan $B(x)$ $H^{HO}$ $H^{(1)}$ $H^{(2)}$

H^{(1)}=A^{\dolk }A={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2 ))}-{\frac {\hbar }{\sqrt {2m))}W^{\prime }(x)+W^{2}(x)

H^{(2)}=AA^{\dolk }={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2} ))+{\frac {\hbar }{\sqrt {2m))}W^{\prime }(x)+W^{2}(x).

Grundtilstanden med nul energi fra vil tilfredsstille ligningen $\psi _{0}^{(1)}(x)$ $H^{(1)}$

H^{(1)}\psi _{0}^{(1)}(x)=A^{\dolk }A\psi _{0}^{(1)}(x)=A ^{\dolk }{\bigg (}{\frac {\hbar }{\sqrt {2m))}{\frac {d}{dx))+W(x){\bigg )}\psi _{0 }^{(1)}(x)=0.

Hvis vi antager, at vi kender grundtilstanden for den harmoniske oscillator, finder vi som $\psi _{0}(x)$ $B(x)$

W(x)={\frac {-\hbar }{\sqrt {2m))}{\bigg (}{\frac {\psi _{0}^{\prime }(x)}{\ psi _{0}(x)}}{\bigg )}=x{\sqrt {m\omega ^{2}/2}}

Så finder vi det

H^{(1)}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac { m\omega ^{2}}{2}}x^{2}-{\frac {\hbar \omega }{2}}

H^{(2)}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac { m\omega ^{2}}{2}}x^{2}+{\frac {\hbar \omega }{2}}.

Nu kan vi se det

H^{(1)}=H^{(2)}-\hbar \omega =H^{HO}-{\frac {\hbar \omega}{2)).

Dette er et særligt tilfælde af forminvarians, som diskuteres nedenfor. Accepterer hovedsætningen uden bevis, er det indlysende, at spektret starter med og øges yderligere i trin Spektra og vil have de samme lige store intervaller, men vil blive forskudt med hhv . Det følger heraf, at spektret antager den velkendte form . $H^{(1)}$ $E_{0}=0$ $\hbar \omega .$ $H^{(2)}$ $H^{HO}$ $\hbar \omega$ $\hbar \omega/2$ $H^{HO}$ $E_{n}^{HO}=\hbar \omega (n+1/2)$

Superalgebra af supersymmetrisk kvantemekanik

I almindelig kvantemekanik lærer vi, at algebraen af operatorer er bestemt af kommuteringsrelationerne mellem disse operatorer. For eksempel har de kanoniske positions- og momentumoperatorer en kommutator . (Her bruger vi " naturlige enheder ", hvor Plancks konstant er sat til 1.) Et mere komplekst tilfælde er algebraen af vinkelmomentoperatorer ; disse størrelser er tæt forbundet med rotationssymmetri i tredimensionelt rum. Ved at generalisere dette koncept definerer vi en antikommutator , der definerer forholdet mellem operatører, ligesom en almindelig kommutator, men med det modsatte fortegn: $[x,p]=i$

\{A,B\}=AB+BA.

Hvis operatører er forbundet med både antikommutatorer og kommutatorer, siger vi, at de er en del af en Lie superalgebra . Lad os sige, at vi har et kvantesystem beskrevet af en Hamiltonianer og et sæt operatører . Vi vil kalde dette system supersymmetrisk , hvis følgende antikommutationsrelationer er gyldige for alle : ${\mathcal {H}}$ $N$ $Q_{i}$ $i,j=1,\ldots,N$

Hvis ja, så kalder vi systemet for supercharges. $Q_{i}$

Eksempel

Overvej et eksempel på en endimensionel ikke-relativistisk partikel med 2 ( det vil sige to tilstande) indre frihedsgrader og kald dem "spin" (dette er ikke ligefrem spin, fordi ægte spin er en egenskab ved en 3D-partikel). Lad den operatør, der konverterer "spin-up" af partiklen til "spin-down". Dens tilknyttede operatør omdanner spin-down-partiklen til en spin-up-tilstand. Operatørerne er normaliseret på en sådan måde, at antikommutatoren . Og selvfølgelig ,. Lad partiklens momentum og dens koordinat være med . Lad (superpotentiale) være en vilkårlig kompleks analytisk funktion , der definerer supersymmetriske operatorer $b$ $b^{\dolk }$ $\{b,b^{\dolk }\}=1$ $b^{2}=0$ $s$ $x$ $[x,p]=i$ $W$ $x$

Q_{1}={\frac {1}{2}}\venstre[(p-iW)b+(p+iW^{\dolk })b^{\dolk }\right]

Q_{2}={\frac {i}{2}}\venstre[(p-iW)b-(p+iW^{\dolk })b^{\dolk }\right]

Bemærk, at og er selvtilknyttede. Lad Hamiltonianeren $Q_1$ $Q_{2}$

H=\{Q_{1},Q_{1}\}=\{Q_{2},Q_{2}\}={\frac {(p+\Im \{W\})^{2 }}{2}}+{\frac {{\Re \{W\}}^{2}}{2}}+{\frac {\Re \{W\}'}{2}}(bb^ {\dolk }-b^{\dolk }b)

hvor W' er den afledte af W . Bemærk også, at { Q 1 , Q 2 }=0. Dette er intet andet end N = 2 supersymmetri. Bemærk, at det fungerer som et elektromagnetisk vektorpotentiale . $\Im \{W\}$

Lad os også kalde spin-down-tilstanden "bosonisk" og spin-up-tilstanden "fermionisk." Dette er kun en analogi med kvantefeltteori og skal ikke tages bogstaveligt. Derefter kortlægger Q 1 og Q 2 "bosoniske" tilstande til "fermioniske" og omvendt.

Lad os omformulere lidt:

Definere

Q=(p-iW)b

og selvfølgelig,

Q^{\dolk }=(p+iW^{\dolk })b^{\dolk }

\{Q,Q\}=\{Q^{\dolk },Q^{\dolk }\}=0

\{Q^{\dolk },Q\}=2H

En operator er "bosonisk", hvis den tager "bosoniske" tilstande til "bosoniske" tilstande og "fermioniske" tilstande til "fermioniske" tilstande. Operatøren er "fermionisk", hvis den oversætter "bosoniske" tilstande til "fermioniske" tilstande og omvendt. Enhver operator kan udtrykkes unikt som summen af de bosoniske og fermioniske operatorer. Vi definerer en superkommutator [,} som følger: mellem to bosoniske operatorer eller en bosonisk og en fermionisk operator er den intet andet end en kommutator , men mellem to fermioniske operatorer er den en antikommutator .

Så er x og p bosoniske operatorer og b , , Q er fermioniske operatorer. $b^{\dolk }$ $Q^{\dolk }$

I Heisenberg-notation er x , b og funktioner af tid $b^{\dolk }$

[Q,x\}=-ib

[Q,b\}=0

[Q,b^{\dolk }\}={\frac {dx}{dt}}-i\Re \{W\}

[Q^{\dolk },x\}=ib^{\dolk }

[Q^{\dolk },b\}={\frac {dx}{dt}}+i\Re \{W\}

[Q^{\dolk },b^{\dolk }\}=0

Disse udtryk er generelt ikke-lineære: dvs. x (t), b (t) og danner ikke en lineær supersymmetrisk repræsentation, fordi de ikke nødvendigvis er lineære i x . For at undgå dette problem definerer vi en selvadjoint operatør . Derefter, $b^{\dolk }(t)$ ${\displaystyle \Re\{W\))$ $F=\Re \{W\}$

[Q,x\}=-ib

[Q,b\}=0

[Q,b^{\dolk }\}={\frac {dx}{dt}}-iF

[Q,F\}=-{\frac {db}{dt))

[Q^{\dolk },x\}=ib^{\dolk }

[Q^{\dolk },b\}={\frac {dx}{dt}}+iF

[Q^{\dolk },b^{\dolk }\}=0

[Q^{\dolk },F\}={\frac {db^{\dolk }}{dt}}

vi har en lineær repræsentation af supersymmetri.

Lad os nu introducere to "formelle" størrelser: og , hvor den sidste er konjugatet af den første, således at $\theta$ ${\bar {\theta ))$

\{\theta ,\theta \}=\({\bar {\theta )),{\bar {\theta ))\}=\({\bar {\theta )),\theta \} =0

og begge pendler med bosoniske operatorer, men antipendler med fermioniske.

Dernæst definerer vi begrebet et superfelt:

f(t,{\bar {\theta )),\theta )=x(t)-i\theta b(t)-i{\bar {\theta }}b^{\dolk }(t )+{\bar {\theta }}\theta F(t)

f er en selvadjoint operatør. Derefter,

[Q,f\}={\frac {\partial }{\partial \theta }}fi{\bar {\theta }}{\frac {\partial }{\partial t}}f,

[Q^{\dolk },f\}={\frac {\partial }{\partial {\bar {\theta )))fi\theta {\frac {\partial }{\partial t} } f.

Der er i øvrigt også en U(1) R - symmetri, hvor p , x , W har nul R-ladning, mens R-ladning er 1 og R-ladning af b er −1. $b^{\dolk }$

Invariant form

Antag virkelig for alle virkelige . Så kan vi forenkle udtrykket for Hamiltonianeren til $W$ $x$

H={\frac {(p)^{2}}{2}}+{\frac {{W}^{2}}{2}}+{\frac {W'}{2}} (bb^{\dolk}-b^{\dolk}b)

Der er visse klasser af superpotentialer, således at de bosoniske og fermioniske Hamiltonianere har lignende former. Helt konkret

V_{+}(x,a_{1})=V_{-}(x,a_{2})+R(a_{1})

hvor er parametrene. For eksempel kan potentialet for et brintatom med vinkelmomentum skrives $-en$ $l$

{\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}+{\frac {h^{2}l(l+ 1 )}{2m}}{\frac {1}{r^{2}}}-E_{0}

Dette svarer til superpotentialet $V_{-}$

W={\frac {\sqrt {2m}}{h}}{\frac {e^{2}}{24\pi \epsilon _{0}(l+1)))-{\frac {h(l+1)}{r{\sqrt {2m}}}}

V_{+}={\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}+{\frac {h^{2 }(l+1)(l+2)}{2m}}{\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {e^{4}m}{32\pi ^{2} h^{2}\epsilon _{0}^{2}(l+1)^{2}}}

Dette er potentialet for vinkelmomentet forskudt med en konstant. Efter løsning for grundtilstanden kan supersymmetriske operatorer bruges til at konstruere resten af de koblede tilstande af spektret. $l+1$ $l=0$

Generelt, da og er potentielle partnere, har de det samme energispektrum bortset fra én grundtilstandsenergi. Vi kan fortsætte denne proces med at finde partnerpotentialer med betingelsen om forminvarians ved hjælp af følgende formel for energiniveauerne afhængigt af potentialets parametre $V_{-}$ ${\displaystyle V_{+))$

E_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}R(a_{i})

hvor er parametrene for flere partnerpotentialer. $a_{i}$

Noter

↑ L. E. Gendenshtein , I. V. Krive. Supersymmetri i kvantemekanik // UFN. - 1985. - T. 146 . - S. 553-590 .
↑ Valance, A.; Morgan, TJ & Bergeron, H. (1990), Egenopløsning af Coulomb Hamiltonian via supersymmetri , American Journal of Physics (AAPT). — V. 58(5): 487–491, doi : 10.1119/1.16452 , < http://link.aip.org/link/?AJP/58/487/1 > Arkiveret fra originalen den 24. februar 2013.
↑ Taller, B. (1992). Dirac ligninger. Tekster og monografier om fysik. Springer.
↑ Schrödinger, Erwin (1940), En metode til at bestemme kvantemekaniske egenværdier og egenfunktioner, Proceedings of the Royal Irish Academy (Royal Irish Academy). — T. 46: 9–16
↑ Schrödinger, Erwin (1941), Yderligere undersøgelser af løsning af egenværdiproblemer ved faktorisering, Proceedings of the Royal Irish Academy (Royal Irish Academy) . - T. 46: 183-206