Maxwell-Boltzmann statistik

Maxwell-Boltzmann- statistikker er en statistisk metode til at beskrive fysiske systemer, der indeholder et stort antal ikke-interagerende partikler, der bevæger sig i overensstemmelse med den klassiske mekaniks love (det vil sige en klassisk idealgas ); foreslået i 1871 af den østrigske fysiker L. Boltzmann .

Distributionsoutput

Maxwell-Boltzmann-fordelingen kan udledes af den generelle Gibbs-fordeling . Overvej et system af partikler i et ensartet felt. I et sådant felt har hvert molekyle af en ideel gas en total energi

\varepsilon =\varepsilon _{kin}+u(x,y,z),

hvor er den kinetiske energi af dens translationelle bevægelse, og er den potentielle energi i et eksternt felt, som afhænger af dets position. $\varepsilon _{kin}$ $u$

At erstatte dette udtryk for energi i Gibbs-fordelingen med et ideelt gasmolekyle

{\displaystyle \mathrm {d} w={\frac {1}{z}}\mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon (p,q)}{\theta }}\right)\ cdot {\frac {\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V}{h^{3))))

(hvor er sandsynligheden for, at partiklen er i en tilstand med værdier af koordinater og momenta , i intervallet ), har vi: $\mathrm {d} w$ $q$ $s$ $\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V$

\mathrm {d} w={\frac {1}{zh^{3}}}\mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon _{kin}+u}{kT)) \right)\cdot \mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V,

hvor integralet af stater er:

z=\int \mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon _{kin}+u}{kT))\right)\cdot {\frac {\mathrm {d} p_{x }\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V}{h^{3}}}.

Integration udføres over alle mulige værdier af variablerne. Planck-konstanten , er Boltzmann -konstanten , er temperaturen, . Yderligere kan integralet af tilstande skrives i formen: $h$ $k$ $T$ $\theta =kT$

z={\frac {1}{h^{3}}}\int \mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon _{kin}}{kT}}\right)\cdot \mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\cdot \int \mathrm {exp} \left(-{\frac {u}{kT)) \right)\mathrm {d} V=\left({\frac {2\pi mkT}{h^{2}}}\right)^{3/2}\cdot \int \mathrm {exp} \venstre (-{\frac {u}{kT}}\right)\mathrm {d} V.

Derfor har Gibbs-fordelingen normaliseret til enhed for et gasmolekyle i nærvær af et eksternt felt formen:

\mathrm {d} w={\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}\cdot \mathrm {exp} \left(-{\frac {p^{2 }}{2mkT}}\right)\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\cdot {\frac {e^{-{\frac { u}{kT))}\mathrm {d} V}{\int e^{-{\frac {u}{kT))}\mathrm {d} V)).

Den resulterende sandsynlighedsfordeling, som karakteriserer sandsynligheden for, at et molekyle har et momentum i et givet interval og er i et givet volumenelement, kaldes Maxwell-Boltzmann-fordelingen .

Nogle egenskaber

Når man overvejer Maxwell-Boltzmann-distributionen, er en vigtig egenskab slående - den kan repræsenteres som et produkt af to faktorer:

\mathrm {d} w=\left[{\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}\cdot \mathrm {exp} \left(-{\frac {p ^{2}}{2mkT}}\right)\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\right]\cdot \left[{\frac {e^{-{\frac {u}{kT}}}\mathrm {d} V}{\int e^{-{\frac {u}{kT}}}\mathrm {d} V}}\ ret].

Den første faktor er intet andet end Maxwell-fordelingen , den karakteriserer sandsynlighedsfordelingen over impulser. Den anden faktor afhænger kun af partiklernes koordinater og bestemmes af typen af potentiel energi; det karakteriserer sandsynligheden for at finde en partikel i volumen d . $V$

Ifølge sandsynlighedsteorien kan Maxwell-Boltzmann-fordelingen betragtes som produktet af sandsynligheden for to uafhængige hændelser - realiseringen af momentumværdien i et givet "momentum"-interval og realiseringen af et molekyles position i en given " koordinat" interval. Den første:

\mathrm {d} w_{p}={\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}\cdot \mathrm {exp} \left(-{\frac {p ^{2}}{2mkT}}\right)\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}

er Maxwell-fordelingen; anden chance:

\mathrm {d} w_{r}={\frac {e^{-{\frac {u}{kT))}\mathrm {d} V}{\int e^{-{\frac { u}{kT}}}\mathrm {d} V}}

er Boltzmann-distributionen. Det er klart, at hver af dem er normaliseret til enhed.

Boltzmann-fordelingen er et specialtilfælde af den kanoniske Gibbs-fordeling for en ideel gas i et eksternt potentialfelt, da Gibbs-fordelingen i fravær af interaktion mellem partikler nedbrydes til produktet af Boltzmann-fordelingerne for individuelle partikler.

Sandsynlighedens uafhængighed giver et vigtigt resultat: sandsynligheden for en given værdi af momentumet er fuldstændig uafhængig af molekylets position og omvendt afhænger sandsynligheden for molekylets position ikke af dets momentum. Det betyder, at partiklernes momentum (hastigheds)fordeling ikke afhænger af feltet, med andre ord forbliver den den samme fra punkt til punkt i det rum, hvori gassen er indesluttet. Kun sandsynligheden for at detektere en partikel, eller tilsvarende antallet af partikler, ændres.

Se også

Bibliografi

Carter, Ashley H., "Classical and Statistical Thermodynamics", Prentice–Hall, Inc., 2001, New Jersey.
Raj Pathria , "Statistical Mechanics", Butterworth-Heinemann, 1996.