Beregningsgitter

Det beregnede (beregningsmæssige) gitter  er et sæt punkter (gitterknudepunkter), der er specificeret i definitionsdomænet for en funktion .

Beregningsgitter bruges i den numeriske løsning af differential- og integralligninger . Kvaliteten af ​​konstruktionen af ​​beregningsgitteret bestemmer i høj grad succesen (fejlen) af den numeriske løsning af ligningen.

Klassifikation og metoder til at konstruere beregningsgitter

Proceduren til at konstruere et beregningsgitter kan betragtes som konstruktionen af ​​en en-til-en kortlægning af definitionsdomænet for en funktion ( fysisk domæne ) på et eller andet beregningsdomæne , der har en enklere form.

Algebraiske meshing-metoder

Algebraiske gitter er bygget ved at løse algebraiske ligninger . Et eksempel på det enkleste gitter defineret på et segment er mængden {xk}={x1, x2 … xK}, hvor xk=x1+dx*(k-1). Værdien af ​​dx kaldes i dette tilfælde trinnet i beregningsgitteret. De vigtigste fordele ved algebraiske metoder er god kontrol over fordelingen af ​​interne gitterknudepunkter og høj effektivitet af deres numeriske implementering, hvilket er særligt vigtigt, når man konstruerer adaptive (omkonfigureret under beregningen) gitter. Ulempen ved algebraiske metoder er, at grænsebrud forplanter sig ind i domænet. Brugen af ​​differentielle metoder gør det som regel muligt at opnå glattere masker.

Differentielle meshing-metoder

Mesh-konstruktion ved hjælp af metoden med konforme kortlægninger

Ulempen ved metoder til at konstruere beregningsgitter ved hjælp af metoden med konforme kortlægninger er, at de kun er egnede til at konstruere todimensionelle gitter.

Masker forbundet (konsistent) med grænsen af ​​området

Den enkleste måde at bygge et beregningsgitter på er at opdele rummet med et system af overflader, der er ækvidistante til basisfladerne af standardkoordinatsystemer, hvilket gør det muligt væsentligt at forenkle skrivningen af ​​de differentialligninger, der løses. Ulempen ved interferenskonceptet ligger i det faktum, at gitteret ikke er forbundet med formen af ​​regionens grænser - når man betragter regionerne for definition af en vilkårlig formfunktion, falder ingen af ​​koordinatlinjerne sammen med grænsen, hvilket fører til et fald i kvaliteten af ​​implementeringen af ​​randbetingelser og (eller) til en ekstrem komplikation af beregningsalgoritmen og som følge heraf til en stigning i omkostningerne til maskintid. Ved at bruge krumlinjede gitterlinjer er det muligt at opnå sammenfaldet af grænserne for funktionens definitionsdomæne ( fysisk domæne ) og gitterlinjer, hvilket gør det muligt at forenkle registreringen af ​​randbetingelser . Men på grund af transformationen af ​​koordinater optræder der normalt yderligere led i den ligning , der skal løses.

Strukturerede (regelmæssige) gitter

I tilfælde, hvor sættet af gitterknudepunkter er ordnet , kaldes beregningsgitteret struktureret. Brugen af ​​strukturerede gitter (sammenlignet med ustrukturerede) tillader som regel at reducere varigheden af ​​beregningen og den nødvendige mængde computer- RAM . Samtidig kræver proceduren for at konstruere et buet regulært gitter som regel en masse arbejdskraft og computerressourcer sammenlignet med proceduren for at konstruere et uregelmæssigt gitter.

Almindelig gitter

Ustrukturerede (uregelmæssige) gitter

Ustruktureret mesh

Ortogonale og ortogonale masker

For at opnå en løsning af en differentialligning, der har den nødvendige nøjagtighed med minimale computerressourcer, skal beregningsgitteret have en række egenskaber. Især, som erfaringen fra mange forskere viser, bør beregningscellerne have en lille skævhed, det vil sige, at beregningsgitteret om muligt skal være ortogonaliseret. Problemet med at konstruere et multidimensionelt ortogonaliseret beregningsgitter er formuleret som et problem med at minimere den funktionelle I=int(wQ dV), hvor w er en vægtfunktion, Q er et mål for gitterets ortogonalitet. Som et mål for Q kan summen af ​​skalarprodukter af tangenter til koordinatgitterlinjerne bruges. Det kan påvises, at variationsproblemet ved at konstruere et ortogonaliseret beregningsgitter er reduceret til et grænseværdiproblem for Poisson-differentialligningssystemet. Som bekendt beskriver systemet af Poisson-ligninger under givne randbetingelser fordelingen af ​​varme i det undersøgte volumen, hvilket gør det muligt at opnå glatte gitterlinjer, selv i tilfælde hvor grænserne for det fysiske område har knæk. Maksimumsprincippet, som er gyldigt for elliptiske ligninger, garanterer, at de maksimale og minimale værdier af de beregnede koordinater nås ved grænsen af ​​regionen. Da der anvendes et system af elliptiske ligninger, bør enten koordinaterne for gitterknuderne ved grænserne (Dirichlet-betingelsen) eller hældningen af ​​koordinatlinjerne ved grænserne (Neumann-betingelsen) angives som grænsebetingelser.

Multigrid metode

Responsive Grids

I problemer med diskontinuerlige løsninger (herunder problemer med supersonisk gasdynamik) er det beregningsmæssige domæne karakteriseret ved tilstedeværelsen af ​​flerskalaelementer af en kompleks inhomogen struktur. Tilstrækkeligt store zoner har små eller moderate gradienter af opløsningsparametre. Samtidig er der forholdsvis smalle områder, hvor gradienterne af løsningsparametrene når store værdier. Disse er chokbølger, kontaktdiskontinuiteter, grænselag. For at opnå en pålidelig numerisk løsning af problemer af denne type er det nødvendigt at bruge beregningsgitter med små rumlige trin. I dette tilfælde bliver beregningsomkostningerne så betydelige, at det på grund af computerteknologiens begrænsninger ikke altid er muligt at opnå en tilstrækkelig præcis løsning af problemer. I sådanne tilfælde bliver det ønskeligt at bruge dynamisk adaptive gitter, der tillader brugen af ​​små rumlige gitterafstande, hvor det er nødvendigt, for at opfylde strenge krav til numeriske metoder, samtidig med at moderate beregningskrav opretholdes. Metoderne til dynamisk adaptive gitter er en af ​​de mest effektive tilgange til at forbedre nøjagtigheden af ​​den numeriske løsning i beregningsdomæner med flere rumlige skalaer, hvilket afspejler den inhomogene struktur af løsningen. Hovedideen med metoderne til dynamisk adaptive gitter er at reducere størrelsen af ​​celler i de områder af det beregningsmæssige domæne, hvor der opstår store løsningsfejl. Da den ønskede løsning i de fleste tilfælde er ukendt, og det er umuligt at bestemme fejlen, som er forskellen mellem de nøjagtige og omtrentlige løsninger i en bestemt norm, bruges gradienter eller forskelle i løsningsparametrene oftest som et mål for løsningen fejl. Der er to faser af tilpasningsprocessen: arbejdet med kriteriet og de faktiske tilpasningsprocedurer.

tilpasningsprocedurer. Følgende hovedtilgange er noteret i litteraturen: fuldstændig mesh-regenerering; lokal knusning-sammensmeltning af celler; bevægelige noder. Fuld mesh-regenerering består i at bygge et nyt mesh ved hjælp af de oplysninger, der er opnået på det gamle mesh og geninterpolere opløsningen. Metoden til at flytte noder antager, at det samlede antal af beregningsgitteret er fast. Deres omfordeling udføres også for at øge tætheden af ​​gitteret i områder med lokalisering af singulariteter af løsningen og dens sjældenhed, hvor sådanne singulariteter er fraværende. Metoden til lokal opdeling-sammenfletning af celler i beregningsgitteret reduceres til at inkludere yderligere knudepunkter i gitteret i nærheden af ​​lokaliseringen af ​​singulariteter af løsningen med samtidig fjernelse af ekstra knudepunkter i områder, hvor løsningen ikke indeholder singulariteter. Med de to ekstreme metoder er det nødvendigt at opretholde den nødvendige kvalitet af beregningsgitteret.

Multiblok-gitter

Litteratur

Se også