Opløsning (homologisk algebra)

Opløsningsmidlet er et af de vigtige værktøjer i homologisk algebra , især bruges det til at beregne funktorerne Ext og Tor .

Projektiv opløsning

Et kompleks ( X , e ) over et R -modul C er en sekvens

$\cdots~X_{n+1}\stackrel{d_{n+1}}{\longrightarrow}X_{n}\stackrel{d_{n}}{\longrightarrow}~\cdots~\stackrel{d_{2} }{\longrightarrow}X_{1}\stackrel{d_{1}}{\longrightarrow}X_{0}\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}C{\longrightarrow}0$ (*)

sådan, at produktet af to på hinanden følgende homomorfier er lig med 0. Hvis alle X er frie, kaldes komplekset frie, hvis alle er projektive , kaldes det projektive. Hvis sekvensen (*) er nøjagtig , det vil sige al homologi Hn ( X ) = ker d n /im d n +1 = 0 for n > 0 og H 0 ( X ) = ker d 0 /im d 1 = X 0 / im d 1 = X 0 /ker ε er isomorf til C (forudsat d 0 : X 0 → 0 ), så kaldes dette kompleks resolventen af R . Da ethvert modul C er et kvotientmodul af et frit, kan ethvert modul C inkluderes i en eller anden fri (og desuden projektiv) opløsning.

Det mindste indeks k , således at alle X n er nul for n > k , kaldes længden af opløsningsmidlet. Den projektive dimension af et modul er den mindste længde af dets projektive opløsning. For eksempel er et projektivt modul nøjagtigt et modul med projektiv dimension 0.

Funktionerne Ext n findes i henhold til følgende sætning: Hvis C og A er R - moduler og ε : X → C er enhver projektiv opløsning af C , så er Ext n ( C , A ) isomorf til kohomologigruppen H n ( X , A ) = Hn ( HomR ( X , A ) ) . Funktionerne Tor n findes i henhold til følgende sætning: Hvis C og A er R -moduler og ε : X → C er enhver projektiv opløsning af C , så er Tor n ( C , A ) isomorf til homologigruppen H n ( X⊗RA ) . _ _ _

Injektiv opløsning

Et kompleks ( Y , ε ) under et R -modul A er en sekvens:

$0{\longrightarrow}A\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}Y^{0}\stackrel{\delta^{1}}{\longrightarrow}Y^{1}\stackrel{\delta^{2}} {\longrightarrow}~...~\stackrel{\delta^{n}}{\longrightarrow}Y^{n}\stackrel{\delta^{n+1}}{\longrightarrow}Y^{n+1 }{\longrightarrow}~\cdots$ (**)

sådan, at produktet af to på hinanden følgende homomorfier er 0. Hvis alle Y er injektiv , siges komplekset at være injektiv. Hvis sekvensen (**) er nøjagtig, det vil sige al kohomologi H n ( Y ) = ker δ n +1 /im δ n = 0 for n > 0 og H 0 ( Y ) = ker δ 1 /im δ 0 = ker δ 1 = im ε er isomorf til A (forudsat δ 0 : 0 → Y 0 ), så kaldes dette kompleks et kerneopløsningsmiddel (normalt, i dette tilfælde, er "ko" udeladt, og man taler om en injektiv opløsning) . Da ethvert modul A er et undermodul til et injektiv og så videre, kan ethvert modul A inkluderes i en eller anden injektiv opløsning.

Funktionerne Ext n findes i henhold til følgende sætning: Hvis C og A er R - moduler og ε : A → Y er en hvilken som helst injektiv opløsning af A , så er Ext n ( C , A ) isomorf til kohomologigruppen H n ( Hom R ( C , Y )) .

Litteratur

Cartan A. , Eilenberg S. Homologisk algebra. - M: IL, 1960
McLane S. Homology. - M: Mir, 1966