Vis grad

Graden af en kortlægning er en homotopi-invariant af en kontinuerlig kortlægning mellem kompakte manifolder af samme dimension.

I det enkleste tilfælde, for kortlægning fra cirkel til cirkel, kan graden af kortlægning defineres som antallet af omdrejninger af punktet, når cirklen løber igennem. ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1))$ $\varphi(x)$ $x$

Definitioner

Homolog

Lad X og Y være lukkede orienterbare manifolds af samme dimension. Så er graden af en kontinuerlig mapping defineret som et heltal , således at $f\kolon X\til Y$ $\deg(f)$

f_{*}([X])=\deg(f)[Y].

hvor betegner den inducerede homomorfi mellem homologiringe og betegner sortens grundlæggende klasse . $f_{*}$ $[X]$ $x$

Ved at tælle orienteringer

Overvej en jævn kortlægning af dimensionelle kompakte tilsluttede orienterede glatte manifolds . $n$ $\varphi: M_1^n\til M_2^n$

Et punkt fra kaldes regulært , hvis det har et begrænset antal forbilleder, og i hvert af dets forbilleder er afbildningen ikke degenereret (det vil sige, at differentialet af afbildningen i hvert af forbillederne er ikke degenereret). Ifølge Sards lemma er næsten alle punkter regulære værdier . $M_2^n$ $\varphi$ $M_2^n$ $\varphi$

Lad os tildele hvert forbillede af et regulært punkt tallet , hvis kortlægningen på dette tidspunkt bevarer orientering og andet. Så kaldes summen af tallene for alle forbilleder af et regulært punkt graden af kortlægningen . $+1$ $\varphi$ $-en$

Ved at anvende Sards lemma kan vi bevise, at graden af kortlægning ikke afhænger af valget af et regulært punkt. Derfor er denne definition korrekt.

Egenskaber

Graden af en kortlægning ændres ikke, når kortlægningen er homotopi (kontinuerlig ændring) og dermed er en homotopi-invariant af kortlægningen.