Afstand mellem lige linjer

Denne artikel betragter to parallelle linjer i planet. For parallelle linjer, der ikke er i samme plan, se Krydsning af linjer#afstand .

Afstanden mellem to lige linjer i et plan er den korteste afstand mellem to punkter på linjen. Eller mellem et punkt, der ligger på en linje med en anden parallel linje. I tilfælde af skærende linjer er afstanden mellem dem nul, fordi den mindste afstand mellem dem er nul (ved skæringspunktet); mens det i tilfælde af to parallelle linjer er vinkelret - afstanden fra et punkt på den ene linje til den anden linje.

Formler og beviser

Hvis linjerne er parallelle, så er afstanden mellem dem en konstant, så det er lige meget, hvilket punkt der vælges til at måle afstanden. Givet ligningerne for to lodrette parallelle linjer

y=mx+b_{1}\,

y=mx+b_{2}\,,

afstanden mellem to parallelle linjer er afstanden mellem disse linjers to skæringspunkter med en vinkelret

y=-x/m\,.

Denne afstand kan findes ved at løse systemet af lineære ligninger

{\begin{cases}y=mx+b_{1}\\y=-x/m\,,\end{cases))

og

{\begin{cases}y=mx+b_{2}\\y=-x/m\,,\end{cases))

for at få koordinaterne til skæringspunkterne. Bestem koordinaterne for skæringspunktet

\left(x_{1},y_{1}\right)\ =\left({\frac {-b_{1}m}{m^{2}+1)),{\frac {b_ {1}}{m^{2}+1}}\right)\,,

og

\left(x_{2},y_{2}\right)\ =\left({\frac {-b_{2}m}{m^{2}+1)),{\frac {b_ {2}}{m^{2}+1}}\right)\,.

Afstand mellem punkter

d={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({ \frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}\,,

som kan reduceres som

d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1))}\,.

Hvis linjeligningerne i det kartesiske koordinatsystem er kendte, kan de nedskrives:

ax+by+c_{1}=0\,

ax+by+c_{2}=0,\,

hvor afstanden mellem linjerne kan skrives som

d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2))))

Se også