Heegaard split

Heegaard skillevæggen er en skillevæg af en kompakt orienteret 3 -manifold i to kroppe med håndtag .

Opkaldt efter Poul Hegaard , som var pioner for undersøgelsen af sådanne skillevægge i 1898 [1] .

Konstruktion

For enhver kompakt tredimensionel manifold eksisterer der en overflade , der skærer i to legemer med håndtag , det vil sige i manifolder, der er homøomorfe til et lukket område af det euklidiske rum afgrænset af overfladen. $M$ $S$ $M$

Overfladens slægt kaldes skillevæggens slægt . En partition kaldes minimal , hvis den ikke tillader partitioner af mindre slægt . Minimumsværdien af en overflades slægt kaldes manifoldens Heegaard -slægt . $S$ $M$ $M$ $M$

Eksempler

Den tredimensionelle sfære indrømmer en Heegaard flisebelægning af slægten nul. Med andre ord skærer en 2-dimensionel kuglei to kugler. $S^{3}$ $S^{3}$
- Desuden er alle sorter, der tillader en Heegaard-partition af slægt nul, homøomorfe . $S^{3}$
Den indlejrede torus splitter kuglen i to solide tori, hvilket giver endnu en Heegaard flisebelægning af slægt 1. (Se også Hopf-fibrering .) $S^{3}$
Linsemellemrum tillader en Heegaard flisebelægning af slægt et. Med andre ord kan ethvert linserum skæres af en torus til to solide tori.

Egenskaber

Alexanders lemma: op til isotopi er der en unik (stykkevis lineær) indlejring af en todimensionel kugle i en tredimensionel kugle.
- Denne sætning kan omformuleres som følger: den tredimensionelle sfære tillader en unik Heegaard fliselægning af slægten nul. $S^{3}$

Waldhausens sætning [2] : hver partition opnås fra en partition af slægt nul ved en forbundet sumoperation med en partition af en sfære af slægt 1. $S^{3}$

Reidemeister-Singer-sætning : For ethvert par af partitioner og en manifold eksisterer der en tredje partition , som er en stabilisering af begge. Det vil sige, det kan fås fra og ved at tage en forbundet sum med en partition af slægt 1. $H_1$ $H_2$ $M$ $H$ $H$ $H_1$ $H_2$ $S^{3}$

Enhver minimal overflade i en Riemannsk 3-manifold med positiv krumning definerer en Heegaard-nedbrydning.

Litteratur

Matematisk encyklopædi. M .: 197 * - 1985, bind 5, s. 780. (Heegaard splittet.)
Fomenko, A.T. Geometri og topologi. Visuel geometri og topologi. M. 1992. (Kapitel 2. Varieteter af lav dimension.)

Noter

↑ Heegaard, Poul (1898), Forstudier til en topologisk Teori for de algebraiske Fladers Sammenhang , Thesis , < http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/heegaardthesis.pdf > Arkiveret 4. marts 2016 kl. Wayback- maskinen
↑ Saul Schleimer. Waldhausens sætning // Geometri og topologi monografier. - 2007. - Bd. 12. - S. 299-317. - doi : 10.2140/gtm.2007.12.299 .