Ensartede linjer

Ensartede linjer er en familie af linjer i det euklidiske rum , således at vinklen mellem to linjer fra dette sæt er den samme.

Beregning af det maksimale antal ensvinklede linjer i n -dimensionelt euklidisk rum er et vanskeligt problem og generelt uløst, selvom grænserne er kendte. Det maksimale antal ensvinklede linjer i todimensionelt rum er 3 - du kan tegne linjer gennem modsatte hjørner af en regulær sekskant, så vil hver linje skære de to andre i en vinkel på 120 grader. Det maksimale antal i tredimensionelt rum er 6 - du kan tegne linjer gennem de modsatte hjørner af icosahedron . Det maksimale antal i dimensionerne 1 til 18 er angivet i Encyclopedia of Integer Sequences :

1, 3, 6, 6, 10, 16, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 36, 40, 48, 48, ...

Især er det maksimale antal ligekantede linjer i et rum med dimension 7 28. Du kan få disse linjer som følger: tag vektoren (-3, -3, 1, 1, 1, 1, 1, 1) i og danner alle 28 vektorer ved at permutere vektorelementer. Punktproduktet af to af disse linjer er 8, hvis der er to 3'ere i samme position, og -8 ellers. Linjerne, som disse vektorer ligger på, er således ensvinklede. Alle 28 vektorer er dog ortogonale i forhold til vektoren (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) i , så de ligger alle i et 7-dimensionelt underrum. Faktisk er disse 28 vektorer (og vektorer negative for dem), op til rotationer, 56 hjørner af 3 21 polytopen . Med andre ord er de vægtvektorer af den 56-dimensionelle repræsentation af Lie- gruppen E7 .

Ensartede linjer svarer til to-grafer . Lad et sæt ensvinklede linjer være givet og c lig med cosinus af den fælles vinkel. Vi antager, at vinklen ikke er 90°, da dette er et trivielt tilfælde (ikke interessant, da linjer kun er koordinatakser). Så er c ikke lig med nul. Vi kan flytte linjerne, så de passerer gennem oprindelsen. Vi vælger en enhedsvektor på hver linje. Vi danner en matrix M af skalære produkter . Denne matrix har 1 på diagonalen og ± c andre steder og er også symmetrisk. Hvis vi trækker identitetsmatricen E fra og dividerer med c , får vi en symmetrisk matrix med nul diagonal og ± 1 ud for diagonalen. Og dette er Seidel tilstødende matrix af en to-graf. Omvendt kan enhver to-graf repræsenteres som et sæt af ensvinklede linjer [1] .

Noter

  1. ↑ van Lint, Seidel, 1966 .

Litteratur