Keynes-Ramsey-reglen

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 9. maj 2021; checks kræver 3 redigeringer .

Keynes-Ramsey- reglen er reglen om optimal forbrugeradfærd i problemet med intertemporale valg . Reglen beskriver det optimale forbrugsforløb over tid for et givet indkomstniveau, rente på opsparing og subjektiv diskonteringsrente [1] .

Keynes-Ramsey-reglen relaterer optimale forbrugsniveauer i to tilstødende tidsperioder. Derfor beskriver den de optimale baner for forbrugeradfærd i dynamiske makroøkonomiske modeller.

Fra et matematisk synspunkt er Keynes-Ramsey-reglen en nødvendig optimalitetsbetingelse for et optimalt kontrolproblem . Det er også kendt som Euler-Lagrange-ligningen [2] .

Historie

Keynes-Ramsey-reglen er opkaldt efter Frank Ramsey og hans mentor John Maynard Keynes . Reglen blev opnået af Ramsey i 1928 som et resultat af løsningen af den optimale sparemodel. Efterfølgende blev denne model udviklet i teorien om økonomisk vækst og er nu kendt som Ramsey-Kass-Kopmans-modellen [3] . Keynes hjalp med at give en økonomisk fortolkning af denne regel:

"Besparelser bør være tilstrækkelige til at nå eller midlertidigt nærme sig mætningspunktet ("happy point"), men det betyder ikke, at vi skal spare hele vores indkomst. Jo mere vi sparer, jo hurtigere når vi mætning, men jo mindre glæde får vi lige nu, så vi må vælge mellem det ene og det andet. Mr. Keynes viste mig, at reglen, der styrer mængden af krævede besparelser, umiddelbart kan udledes af disse overvejelser .

Moderne makroøkonomi opererer med mikrobaserede modeller , hvor det intertemporale problem med forbrugervalg ligner det problem, Ramsey formulerede. Det er den vigtigste måde at beskrive forbrugeradfærd på, så Keynes-Ramsey-reglen i dens forskellige modifikationer er et uundværligt element, der beskriver dynamikken i modeller.

Matematisk formulering af reglen i kontinuerlig tid

Keynes-Ramsey-reglen er formuleret som følgende forhold mellem vækstraten i forbruget (per capita) og forskellen mellem den aktuelle markedsrente og koefficienten for intertemporal præference:

{\frac {\dot {c}}{c}}={\frac {1}{\theta }}(r_{t}-\rho )

, hvor er den tidsafledte af forbrug pr. indbygger, henholdsvis, er vækstraten (kontinuerlig) af forbrug pr. indbygger pr. tidsenhed;

{\dot {c}}

{\frac {\dot {c}}{c}}

{\theta }=-{\frac {u''(c)}{u'(c)))c=-{\frac {MU'(c)}{MU(c)))c= -{\frac {dMU/MU}{dc/c}}

- elasticiteten af marginal nytte i forhold til forbrug taget med det modsatte fortegn (det relative mål for Arrow-Pratt risikoaversion );

r_{t}

- rentesatsen for afkast på aktiver (den antages også at være lig med rentesatsen på gælden);

\rho

er forbrugerens intertemporale præferencekoefficient, .

\rho >0,\rho =const

Baggrund og udledning af reglen i kontinuerlig tid

Først og fremmest antager modellen, at det gennemsnitlige individ maksimerer en intertemporal nyttefunktion af følgende form

U=\int _{0}^{{\infty }}u(c_{t})e^{{-\rho t}}dt

, hvor er den enkeltes forbrug i øjeblikket ; er forbrugerens intertemporale præferencekoefficient, .

c_{t}

t

\rho

\rho >0,\rho =const

Maksimering af den intertemporale nyttefunktion udføres under hensyntagen til den budgetmæssige begrænsning, der er forbundet med den enkeltes indkomst. Indkomst pr. tidsenhed dannes af løn og indkomst fra formue (opsparing) til markedsrenten. Følgelig repræsenterer indkomst pr. tidsenhed minus forbrug en stigning i formuen pr. tidsenhed. Budgetbegrænsningen har således form af en differentialligning for aktiver:

{\dot {a}}=r_{t}a_{t}+w-c_{t}

I dette tilfælde vil Hamiltonian af optimeringsproblemet være lig med

H=u(c_{t})e^{-\rho t}+\lambda _{t}(r_{t}a_{t}+w-c_{t})

De nødvendige optimalitetsbetingelser har formen:

{\partial H \over \partial c_{t}}=e^{-\rho t}u'(c_{t})-\lambda _{t}=0

{\displaystyle {\dot {\lambda _{t))}=-{\partial H \over \partial a_{t))=-\lambda _{t}r_{t))

Den første betingelse kan repræsenteres som

\ln \lambda _{t}=\ln u'(c_{t})-\rho t

Ved at differentiere denne lighed med hensyn til tid får vi:

{\dot {\lambda _{t))}/\lambda _{t}=u''(c_{t})/u''(c_{t}){\dot {c_{t} }}-\rho =-\theta {\dot {c_{t}}}/c_{t}-\rho

Under hensyntagen til, at ifølge den anden betingelse : , opnår vi endelig ${\displaystyle {\dot {\lambda _{t))}/\lambda _{t}=-r_{t))$

{\dot {c_{t))}/c_{t}={1 \over \theta }(r_{t}-\rho )

Dette resultat vil ikke ændre sig, hvis en konstant befolkningstilvækst og (eller) en yderligere variabel, som nyttefunktionen afhænger af (normalt et individs "fritid" eller arbejdsudbud) føjes til modellen.

Regelafledning i diskret tid

To-periode problem

Forbrugeren løser det intertemporale valgproblem ved at vælge det optimale forbrugsniveau i hver af to perioder for et givet indkomstniveau i hver periode. Forbrugermålfunktionen ser således ud: $t=1,2$

U(C_{1},C_{2})=u(C_{1})+\beta u(C_{2})\to \max _{C_{1},C_{2))

hvor er nyttefunktionen ; — øjeblikkelig (enkeltperiode) nyttefunktion; - niveauet af forbrug i den første og anden periode; — subjektiv rabatfaktor. $U(\cdot )$ $u(\cdot)$ ${\displaystyle C_{1},C_{2))$ $\beta$

Forbrugerens budgetbegrænsning ser således ud:

C_{1}+{\frac {C_{2}}{1+r}}\leq Y_{1}+{\frac {Y_{2}}{1+r}}

hvor er indkomstniveauet i første og anden periode; - rentesatsen på opsparing , der fungerer som en diskonteringssats . $Y_{1},Y_{2}$ $r$

Problemet er løst ved metoden med ubestemte Lagrange-multiplikatorer . Lagrange-funktion til et problem med en begrænsning:

L=u(C_{1})+\beta u(C_{2})+\lambda {\Bigg (}C_{1}+{\frac {C_{2)){1+r)) -Y_{1}-{\frac {Y_{2}}{1+r}}{\Bigg )}\to \max _{C_{1},C_{2}}

Første ordens optimalitetsbetingelser (uden at tage hensyn til budgetbegrænsningen):

u'(C_{1})+\lambda =0

\beta u'(C_{2})+\lambda {\frac {1}{1+r))=0

Herfra følger Keynes-Ramsey-reglen:

{\frac {u'(C_{1})}{u'(C_{2))}}=\beta (1+r)

Generel sag

Problemet kan generaliseres til tilfældet med en begrænset eller uendelig tidshorisont.

U=\sum _{t=0}^{T}\beta ^{t}u(C_{t})\to \max _{C_{t))

\sum _{t=0}^{T}{\frac {C_{t}}{(1+r)^{t}}}\leq \sum _{t=0}^{T} {\frac {Y_{t}}{(1+r)^{t}}}

Problemet er løst ved metoden med ubestemte Lagrange-multiplikatorer . Lagrange-funktion til et problem med en begrænsning:

L=\sum _{t=0}^{T}\beta ^{t}u(C_{t})+\lambda {\Bigg (}\sum _{t=0}^{T} {\frac {C_{t}}{(1+r)^{t}}}-\sum _{t=0}^{T}{\frac {Y_{t}}{(1+r)^ {t}}}{\Bigg )}\to \max _{C_{t}}

Første ordens optimalitetsbetingelser (uden at tage hensyn til budgetbegrænsningen):

\beta ^{t}u'(C_{t})+\lambda {\frac {1}{(1+r)^{t))}=0,\quad t=0,1,. .,T

Ved at dividere betingelserne for tilstødende tidspunkter får vi Keynes-Ramsey-reglen i generel form:

{\frac {u'(C_{t})}{u'(C_{t+1))}}=\beta (1+r)

Se også

Noter

↑ Blanchard, Olivier Jean; Fischer, Stanley . Forelæsninger om makroøkonomi (ubestemt) . - Cambridge: MIT Press , 1989. - s. 41-43. - ISBN 0-262-02283-4 .
↑ Intriligator, Michael D. Matematisk optimering og økonomisk teori . - Englewood Cliffs: Prentice-Hall , 1971. - S. 308-311 . — ISBN 0-13-561753-7 .
↑ Ramsey, FP A Mathematical Theory of Saving // Economic Journal : journal. - 1928. - Bd. 38 , nr. 152 . - S. 543-559 .
↑ Ramsey (1928 , s. 545)