Den todelte opfindelse ( latin inventio - opfindelse, fiktion) af Lewis Carroll (et andet navn er What the Tortoise Said to Achilles ) er et logisk paradoks i form af en dialog beskrevet af Carroll i 1895 .
Den logiske strid begynder, da Achilles indhenter skildpadden og sætter sig på ryggen. Reptile tilbød krigeren en anden konkurrence, en logisk - "de fleste tror fejlagtigt, at de i denne konkurrence kun er to eller tre skridt fra målstregen." Skildpadden tilbyder derefter tre forslag:
Derfor, hvis nogen genkender de rigtige domme A og B, så vil han blive tvunget til at sige, at C også er sand. Men der kan meget vel være en anden læser, der kun vil anse udsagn C for at være sand, hvis A og B er sande. Men er der en person, der mener, at A og B er sande, men nægter at acceptere den betingede påstand D: "hvis A og B er sande, så er C sande" og som et resultat ikke at tro på B's troskab? Skildpadden inviterer Achilles til at tage hende som sådan en læser og overbevise V.
Skildpadden accepterer dommen D, men nægter at acceptere C som sand. Så introducerer Achilleus dommen E: "hvis A, B og D er sande, så er C sandt", og det stædige dyr er enig i, at det er sandt, men gør det stadig anerkender ikke troskaben af C. Vises ny betinget proposition E ("Hvis A, B, D og E er sande, så skal C være sandt").
Yderligere er fortælleren "tvunget til at forlade forretningen i banken", men da han besøger heltene igen, finder han ud af, at antallet af domme har oversteget tusinde, og grækeren giver endelig op.
Hvis man ser på alle dommene skrevet af Achilleus i en notesbog under diktat af en skildpadde, så viser det sig, at alle udsagn, undtagen A og B, tilhører et metasprog, der fastslår, om det objektive sprogs domme (A og B) B) er sande eller falske. Men disse udtalelser kan ikke fuldende kæden, og alle forsøg fra Achilleus er forgæves.
Faktisk var det nok at stoppe ved sætning D og derefter få C fra A, B og D ved at anvende Modus ponens to gange . Men at dømme efter skildpaddens adfærd, genkender den ikke selve Modus ponens, som er slutningsreglen. Og da skildpadden ikke anerkender slutningsreglerne, er det generelt umuligt at overbevise den om noget.
Faktisk foreslår Turtle Achilleus at bevise sandheden af slutningsproceduren ved hjælp af selve den logiske teori, det vil sige at gentage Munchausens bedrift og trække sig ud af sumpen i håret. Inden for rammerne af de givne aksiomer - slutningsreglerne - kan Achilleus naturligvis ikke gøre dette uden at gå ind i metateori. Gödels anden ufuldstændighedssætning siger nogenlunde det samme .
I § 38 i hans Principles of Mathematics diskuterer Bertrand Russell kort dette paradoks.
Titlen refererer til Zenos paradoks , hvor Achilleus ikke er i stand til at overhale skildpadden på vejen. I denne historie vinder krybdyret igen, men med kraften fra det logiske sind.