Generaliseret potentiale

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 1. april 2017; checks kræver 2 redigeringer .

Generaliseret potentiale - begrebet klassisk mekanik , brugt til bekvem beregning af generaliserede kræfter , der afhænger af generaliserede hastigheder [1] .

Ordlyd

Overvej et mekanisk system med frihedsgrader, med kinetisk energi og generaliserede kræfter . Her overalt . Overvej udtrykket for den potentielle energi i form af en funktion . Vi kræver, at Lagrange-ligningerne $s$ $T$ ${\displaystyle Q_{m))$ $m=1,2,...,s$ $V=V(q_{1},q_{2},...,q_{s},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2}, ...,{\dot {q}}_{s},t)$

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q_{m}}}=Q_{m}$ ,

lignede

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{m))}=0$ , hvor , er det generaliserede potentiale. $L=TV$ $V$

Et generaliseret potentiale er en funktion , der opfylder ligningen $V$

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial V}{\partial q_{m}}}=Q_{m}$ ,

Lad os finde funktionens afhængighed af de generaliserede hastigheder. $V$

$Q_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{ \frac {\partial V}{\partial q_{m))}=\sum _{\mu =1}^{s}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial {\dot {q }}_{m}\partial {\dot {q}}_{\mu }}}{\ddot {q}}_{\mu}+\sum _{\mu =1}^{s}{\ frac {\partial ^{2}V}{\partial {\dot {q}}_{m}\partial q_{\mu }}}{\dot {q}}_{\mu}+{\frac { \partial ^{2}V}{\partial {\dot {q}}_{m}\partial t}}-{\frac {\partial V}{\partial q_{m}}}$

Da de generaliserede kræfter ikke eksplicit afhænger af de generaliserede accelerationer, kan det generaliserede potentiale kun være en lineær funktion af de generaliserede hastigheder:

${\displaystyle V=\Pi (q_{m},t)+\sum _{\mu =1}^{s}\Pi _{\mu}(q_{m},t){\dot {q} }_{\mu))$

Yderligere:

$Q_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{ \frac {\partial V}{\partial q_{m))}={\frac {d\Pi _{m)){dt))-{\frac {\partial }{\partial q_{m))} \venstre[\sum _{\mu =1}^{s}\Pi _{\mu }{\dot {q))_{\mu }+\Pi \right]=\sum _{\mu =1 }^{s}{\frac {\partial \Pi _{m}}{\partial q_{\mu }}}{\dot {q}}_{\mu}+{\frac {\partial \Pi _ {m)){\partial t))-\sum _{\mu =1}^{s}{\frac {\partial \Pi _{\mu )){\partial q_{m))}{\dot {q))_{\mu }-{\frac {\partial \Pi }{\partial q_{m))}=-{\frac {\partial \Pi }{\partial q_{m))}+\ sum _{\mu =1}^{s}\venstre({\frac {\partial \Pi _{m)){\partial q_{\mu ))}-{\frac {\partial \Pi _{\ mu )){\partial q_{m))}\right)+{\frac {\partial \Pi _{m)){\partial t))$ .

På denne måde:

$Q_{m}=-{\frac {\partial \Pi }{\partial q_{m))}+\sum _{\mu =1}^{s}\gamma _{m\mu }{ \dot {q}}_{\mu }+{\frac {\partial \Pi _{m}}{\partial t}}$ , hvor ${\displaystyle \gamma _{m\mu }={\frac {\partial \Pi _{m)){\partial q_{\mu ))}-{\frac {\partial \Pi _{\mu )) {\partial q_{m))))$

Hvis funktionerne ikke eksplicit afhænger af tid, så består de generaliserede kræfter af potentielle kræfter og gyroskopiske kræfter . [2] ${\displaystyle \Pi _{m))$ ${\displaystyle -{\frac {\partial \Pi }{\partial q_{m))))$ $\sum _{\mu =1}^{s}\gamma _{m\mu }{\dot {q}}_{\mu }$

Eksempel

Overvej Lorentz-kraften, der virker på et punkt elektrisk ladning i et elektromagnetisk felt: hvor er den elektriske ladning, er ladningshastigheden, er det elektriske felts styrke, er magnetfeltets induktion, er lysets hastighed. Det generaliserede potentiale for Lorentz-kraften kan introduceres ved formlen: , hvor er skalarpotentialet , er vektorpotentialet [3] [4] $F=e\left[E+{\frac {v}{c}}\time B\right]$ $e$ $v$ $E$ $B$ $c$ $V=e\phi -{\frac {e}{c}}vA=e\phi -{\frac {e}{c}}\left({\dot {x}}A_{x}+ {\dot {y}}A_{y}+{\dot {z}}A_{z}\right)$ $\phi$ $EN$

Noter

↑ Butenin, 1971 , s. 115.
↑ Butenin, 1971 , s. 117.
↑ Butenin, 1971 , s. 118.
↑ L. D. Landau E. M. Livshits Field theory, Fizmatgiz, 1962

Litteratur

Butenin N.V. Introduktion til analytisk mekanik. - M. : Nauka, 1971. - 264 s.