Bogomolov-Miaoki-Yau ulighed

Bogomolov-Miaoki-Yau- uligheden er en ulighed

mellem Zhen-tal af kompakte komplekse overflader af generel form . Hovedinteressen i denne ulighed er muligheden for at begrænse de mulige topologiske typer af den reelle 4-manifold under overvejelse. Uligheden blev bevist uafhængigt af Yau [1] [2] og Miaoki [3] , efter at Van de Ven [4] og Fedor Bogomolov [5] beviste svagere versioner af uligheden med konstanterne 8 og 4 i stedet for 3.

Borel og Hirzebruch viste, at uligheden ikke kan forbedres ved at finde uendeligt mange tilfælde, hvor ligheden holder. Uligheden er ikke sand for positive karakteristika - Leng [6] og Easton [7] gav eksempler på overflader med karakteristisk p , såsom den generaliserede Raynaud-overflade , for hvilke uligheden ikke holder.

Udtalelse af uligheden

Bogomolov-Miaoki-Yau-uligheden er normalt formuleret som følger.

Lad X være en kompakt kompleks overflade af generel type , og lad og være den første og anden Zhen-klasse af overfladens komplekse tangentbundt. Derefter

Desuden, hvis lighed holder, så er X en faktor af bolden. Det sidste udsagn er en konsekvens af Yaus tilgang til differentialgeometri, som er baseret på hans opløsning af Calabi-formodningen .

Da det er Eulers topologiske karakteristika , og ved Thom-Hirzebruchs signatursætning , hvor er signaturen af ​​skæringsformen på den anden kohomologi, kan Bogomolov-Miaoki-Yau-uligheden omskrives som en begrænsning af den topologiske type af en generel overflade:

og desuden, hvis , universaldækslet er en kugle.

Sammen med Noether-uligheden etablerer Bogomolov-Miaoki-Yau-uligheden grænser i søgen efter komplekse overflader. Betragtningen af ​​topologiske typer, der kan realiseres som komplekse overflader, kaldes overfladegeografi . Se artiklen Generic Surfaces .

Overflader med c 1 2 = 3 c 2

Lad X være en overflade af generel type med , så Bogomolov-Miaoki-Yau-uligheden er ens. For sådanne overflader beviste Yau [1] , at X er isomorf i forhold til enhedskuglefaktoren i en uendelig diskret gruppe. Det er svært at finde eksempler på overflader, hvor ligheden gør sig gældende. Borel [8] viste, at der er uendeligt mange værdier , som overflader eksisterer for. Mumford [9] fandt et falsk projektivt plan med , som har den mindst mulige værdi, fordi det altid er deleligt med 12, mens Prasad og Yen [10] [11] og Cartwright og Steger [12] viste, at der er præcis 50 falske projektive overflader.

Barthel, Hirzebruch og Höfer [13] gav et eksempel på en søgemetode, som især giver overflader X med . Ishida [14] fandt faktoren c for en sådan overflade, og hvis vi tager uforgrenede dækninger af denne faktor, får vi eksempler på c for enhver positiv k . Cartwright og Steger [12] fandt eksempler med for ethvert positivt heltal n .

Noter

  1. ↑ 12 Yau , 1977 .
  2. ↑ Yau, 1978 .
  3. ↑ Miyaoka, 1977 .
  4. ↑ Van de Ven, 1966 .
  5. ↑ Bogomolov, 1978 .
  6. ↑ Lang, 1983 .
  7. ↑ Eastton, 2008 .
  8. ↑ Borel, 1963 .
  9. ↑ Mumford, 1979 .
  10. ↑ Prasad, Yeung, 2007 .
  11. ↑ Prasad, Yeung, 2010 .
  12. ↑ 1 2 Cartwright, Steger, 2010 , s. 11-13.
  13. ↑ Barthel, Hirzebruch, Höfer, 1987 .
  14. ↑ Ishida, 1988 .

Litteratur