Trefork-lemmaet

Trefork-lemmaet , også kaldet trefoil -lemmaet og Mansion's lemma , er en sætning i trekantgeometri , der er relateret til egenskaberne for en trekants incircle , excirkel og circumcircle .

Trefork-lemmaet bruges som et hjælpeudsagn til at bevise mange teoremer, især Eulers formel eller bevise eksistensen af Euler-cirklen .

Navnet "Mansions lemma" blev givet til ære for den belgiske matematiker Paul Mansion . Navnet "trident lemma" blev givet på grund af ligheden med våbenet af samme navn af nøglekonstruktionen til lemmaet (rød i figurerne nedenfor).

Ordlyd

Lad punktet i trekanten være centrum af incircle , punktet er centrum af excirkel modsat toppunktet , og punktet er skæringspunktet for segmentet med buen af den omskrevne cirkel (se højre). Så er punktet lige langt fra , , og . $ABC$ $jeg$ $I_{a}$ $EN$ $L$ ${\displaystyle II_{a))$ $L$ $jeg$ $I_{a}$ $B$ $C$

Særlige versioner af denne erklæring har forskellige navne.

Mansions teorem [1] : lige langt fra og . $L$ $jeg$ $I_{a}$
Shamrock-lemmaet [2] , eller trefork-lemmaet [3] , eller Mansions lemma [4] : lige langt fra , og . $L$ $jeg$ $B$ $C$
Trefork-lemmaet [5] : lige langt fra , , og . $L$ $jeg$ $I_{a}$ $B$ $C$

En anden mulighed for at angive et punkt er som centrum af en bue af den omskrevne cirkel, der ikke indeholder et punkt [4] . $L$ $f.Kr$ $EN$

Bevis

Med vi mener henholdsvis vinkler . Hvis strålen skærer den omskrevne cirkel i et punkt , så er det midtpunktet af buen , segmentet er halveringslinjen af vinklen . Når vi tegner et linjestykke , bemærker vi det $\angle A,\angle B$ $\angle BAC,\angle ABC$ $AI$ $L$ $L$ $f.Kr$ $AL$ $\angle A$ $BI$

\angle BIL=\angle A/2+\angle B/2,

fordi ydre til trekanten også $\angle BIL$ $\triangle AIB$

\angle LBI=\angle LBC+\angle CBI=\angle A/2+\angle B/2,

fordi og er lige, da de er afhængige af den samme bue .

\angle LBC

\angle LAC=\angle A/2

LC

Det betyder, at trekanten er ligebenet, dvs. lighed følger af, at den samme vinkel hviler på begge disse akkorder . $\triangle BLI$ $BL=LI.$ $CL=BL$ $\angle A/2.$ $BL=LI=LC.$

Det har vi vist . Lad os nu bevise, at tridentens "håndtag" er lig med samme værdi. $BL=LI=LC$ $LI_{a}$

Vi forlænger siden ud over et punkt og tager et punkt et sted på denne forlængelse . Med vi mener med vi mener vinklen $AB$ $B$ $E$ $\angle A$ $\angle BAC,$ $\angle B$ $\angle EBC=180^{\circ }-\angle ABC.$

Så skal vi forstå, at trekanten er ligebenet, altså at . $\triangle BLI_{a}$ $\angle LBI_{a}=\angle LI_{a}B$

En side,

\angle LBI_{a}=\angle B/2-\angle A/2

\angle EBI_{a}=\angle A/2+\angle BI_{a}A

da det ydre i trekanten: dvs.

\angle EBI_{a}

\triangle BI_{a}A,

\angle B/2-\angle A/2=\angle BI_{a}A

Variationer og generaliseringer

Trident-lemmaet for to centre af excirkler (det "ydre" trefork-lemma)

Forbindelse med Euler-cirklen

Gennem trefork-lemmaet kan eksistensen af Euler-cirklen bevises .

Overvej en spids trekant ABC. Bemærk, at firkanterne , , er indskrevet (fig. 1). Derfor er vinklerne ens (fig. 2). ${\displaystyle AH_{c}HH_{b))$ ${\displaystyle BH_{c}HH_{a))$ $H_{b}HH_{a}C$ ${\displaystyle \measuredangle HH_{b}H_{c}=\measuredangle HAH_{c}=\measuredangle HCH_{a}=\measuredangle HH_{b}H_{a))$

Af dette følger, at er halveringslinjen i trekanten . Af fuldstændig lignende årsager, og også halveringslinjer i denne trekant (fig. 3). Du kan også bemærke, at det er de ydre halveringslinjer i trekanten (fordi hver af dem er vinkelret på dens indre halveringslinje). Derfor kan vi anvende trefork-lemmaet tre gange, for hver af siderne (Figur 4). $H_{b}H$ ${\displaystyle \triangle H_{c}H_{b}H_{a))$ $H_{a}H$ $H_{c}H$ $AB,$ $BC,$ $CA$ ${\displaystyle \triangle H_{c}H_{b}H_{a))$

Heraf får vi, at segmenternes midtpunkter ligger på en cirkel, der er afgrænset om en ortotrekant . Nu anvender vi det ydre trefork-lemma tre gange (figur 5). $HA,HB,HC$

Vi får, at sidernes midtpunkter ligger på en cirkel, der er afgrænset om en ortotrekant. $AB,BC,CA$

Bemærk

For at bevise eksistensen af Euler-cirklen for en stump trekant med en stump vinkel , er det tilstrækkeligt at overveje en spids trekant med ortocenter og anvende samme ræsonnement på den. $ABC$ $EN$ $BCH$ $EN$

Se også

Noter

↑ Opgave 52395 Arkivkopi dateret 4. marts 2016 på Wayback Machine // "Systemet af problemer i R. K. Gordins geometri"
↑ R. K. Gordin. Teoremer og problemer i skolegeometri. Grund- og profilniveauer. - 3. udg. - MTSNMO, 2018. - S. 43. - ISBN 978-5-4439-2681-0 .
↑ Akopyan A. V. Geometri i billeder .
↑ 1 2 Emelyanov L. A. Schiffler punkt: til minde om I. F. Sharygin . - Matematik i skolen, 2006. - Nr. 6 . - S. 58-60 . — ISSN 0130-9358 .
↑ R. N. Karasev. Opgaver til skolens matematiske cirkel / R. N. Karasev, V. L. Dolnikov, I. I. Bogdanov, A. V. Akopyan. - s. 4.