Lemma Zolotarev

I talteorien siger Zolotarev Lemma , at Legendre-symbolet

\left({\frac {a}{p}}\right)

for et heltal a modulo kan et ulige primtal p , der ikke deler a , beregnes som et permutationstegn:

\left({\frac {a}{p}}\right)=\varepsilon (\pi _{a})

hvor ε betegner permutationens fortegn, og π er permutationen af rester mod p , der ikke er nul , opnået ved at gange med a .

Bevis fra Gauss' lemma

Zolotarev-lemmaet er let afledt af Gauss-lemmaet og omvendt. For eksempel,

\left({\frac {3}{11}}\right)

er Legendre-symbolet (a / p) for a = 3 og p = 11. Lad os starte med mængden {1,2, ..., p-1} som en matrix af to rækker, så summen af de to rækker elementer i enhver kolonne er lig med nul modulo r , for eksempel:

en	2	3	fire	5
ti	9	otte	7	6

Lad os anvende en permutation (mod p): $U:x\maps til ax$

3	6	9	en	fire
otte	5	2	ti	7

Kolonner har også den egenskab, at summen af to elementer i én kolonne er nul modulo p. Anvend nu substitutionen V , som vil bytte alle to par, hvor det øverste medlem oprindeligt var det nederste medlem:

3	5	2	en	fire
otte	6	9	ti	7

Til sidst anvender vi permutationen W, som vil returnere den oprindelige matrix tilbage:

en	2	3	fire	5
ti	9	otte	7	6

Således W −1 = VU. Zolotarev-lemmaet siger, at (a / p) = 1, hvis og kun hvis permutationen U er lige. Gauss Lemma siger, at (a / p) = 1, hvis og kun hvis V er lige. Men W er lige, så begge lemmaer er ækvivalente for givet (men vilkårligt) a og p .

Generel sag

Generelt, lad være enhver endelig gruppe af lige rækkefølge . Lad være et ordenselement . På den ene side, hvis , så er ikke et kvadrat i hvis og kun hvis , det vil sige er ulige, men er lige. På den anden side, lad være permutationen genereret af elementet . Det er klart, at det kan dekomponeres til et produkt af cyklusser af samme længde . Permutationsparitet . Det betyder , at det er en ulige permutation, hvis og kun hvis den henfalder til et ulige antal cyklusser af lige længde . Således er det selv om og kun hvis det er en firkant. $G$ $n$ $a\i G$ $d$ $n=2^{r}q,2\nmidt q$ $-en$ $G$ $2^{r}\midt d$ ${\frac {n}{d))$ $d$ $\pi _{a}:g\mapsto ag$ $-en$ $\pi _{a}$ ${\frac {|G|}{d))$ $d$ ${\displaystyle \varepsilon (\pi _{a})=(-1)^({\frac {|G|}{d}}(d-1)))$ $\pi _{a}$ $\pi _{a}$ ${\frac {|G|}{d))$ $d$ $\pi _{a}$ $-en$

Udsagnet for Legendre-symbolet opnås ved at tage gruppen af rester, der ikke er nul, modulo . Rækkefølgen af denne gruppe er , og derfor endda for . $G$ ${\mathbb {Z}}_{p}^{{\times }}$ $s$ $p-1$ $p>2$

Historie

Dette lemma blev brugt af Egor Ivanovich Zolotarev i 1872 i hans nye bevis på kvadratisk gensidighed .

Noter

Zolotareff G. Nouvelle demonstration de la loi de de réciprocité de Legendre (fransk) // Nouvelles Annales de Mathématiques :magasin. - 1872. - Bd. 11 . - S. 354-362 .

Lemma Zolotarev

Bevis fra Gauss' lemma

Generel sag

Historie

Noter

Links