Kruskal-Wallis kriterium

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 27. september 2020; checks kræver 3 redigeringer .

Kruskal-Wallis- testen er designet til at teste for ligheden af medianerne for flere prøver . Denne test er en multivariat generalisering af Wilcoxon-Mann-Whitney-testen . Kruskal-Wallis-kriteriet er et rangordnet , så det er invariant med hensyn til enhver monoton transformation af måleskalaen .

Også kendt som: Kruskal-Wallis H-test, Kruskal-Wallis en -vejs variansanalyse , Kruskal -Wallis test . Opkaldt efter de amerikanske matematikere William Kruskal og Allen Wallis .

Eksempler på problemer

VM er i gang. Den første prøve er en undersøgelse af fans med spørgsmålet "Hvad er chancerne for, at det ukrainske hold vinder?" inden mesterskabets start. Den anden prøve er efter det første spil, den tredje er efter den anden kamp osv. Værdierne i prøverne er Ukraines chancer for at vinde på en ti-punkts skala (1 — "ingen udsigter", 10 — "at tage pokalen til Ukraine er et spørgsmål om tid"). Det er påkrævet at kontrollere, om resultaterne af afstemningerne afhænger af mesterskabets forløb.

Kriteriebeskrivelse

Der gives prøver: $k$

x_{1}^{n_{1}}=\{x_{11},\;\ldots ,\;x_{1n_{1}}\},\;\ldots ,\;x_{k} ^{n_{k}}=\{x_{k1},\;\ldots ,\;x_{kn_{k}}\}

Det kombinerede udvalg vil se sådan ud:

x=x_{1}^{n_{1}}\kop x_{2}^{n_{2}}\kop \ldots \kop x_{k}^{n_{k)).

Yderligere gæt:

alle prøver er enkle, den samlede prøve er uafhængig;
prøverne er taget fra ukendte kontinuerlige fordelinger . $F_{1}(x),\;\ldots ,\;F_{k}(x)$

Nulhypotesen testes med alternativet . $H_{0}\colon F_{1}(x)=\ldots =F_{k}(x)$ $H_{1}\colon F_{1}(x)=F_{2}(x-\Delta _{1})=\ldots =F_{k}(x-\Delta _{k-1} )$

Lad os sortere alle elementerne i prøverne i stigende rækkefølge og angive rangeringen af -th element i -th sample i den resulterende variationsrække . $N=\sum _{i=1}^{k}n_{i}$ $R_{ij}$ $j$ $jeg$

Statistikken for Kruskal-Wallis-testen til at teste hypotesen om et skift i positionsparametrene for de to sammenlignede prøver har formen:

H=\sum _{i=1}^{k}\left(1-{\frac {n_{i}}{N}}\right)\left\({\frac {{\bar { R}}_{i}-{\dfrac {N+1}{2}}}{\sqrt {\dfrac {(N-n_{i})(N+1)}{12n_{i}}}} }\right\}^{2}={\frac {12}{N(N+1)}}\sum _{i=1}^{k}n_{i}\left({\bar {R} }_{i}-{\frac {N+1}{2}}\right)^{2}=

={\frac {12}{N(N+1)}}\sum _{i=1}^{k}{\frac {R_{i}^{2}}{n_{i}} }-3(N+1)

hvor

R_{i}=\sum _{j=1}^{n_{i}}R_{ij}

;

{\bar {R}}_{i}={\frac {1}{n_{i}}}R_{i}

Skifthypotesen forkastes på signifikansniveau, hvis , hvor er den kritiske værdi, ved og beregnet ud fra tabellerne. For større værdier er forskellige tilnærmelser gældende. $\alfa$ ${\displaystyle H\geqslant H_{\alpha ))$ ${\displaystyle H_{\alpha ))$ $k\leqslant 5$ $n_{i}\leqslant 8$

Kruskal-Wallis Approximation

Lade

M={\frac {N^{3}-\displaystyle {\sum _{i=1}^{k}n_{i}^{3}}}{N(N+1)))

;

\nu _{1}=(k-1){\frac {(k-1)(M-k+1)-V}{{\dfrac {1}{2}}MV}}

;

\nu _{2}={\frac {M-k+1}{k-1}}\nu _{1}

;

{\displaystyle V=2(k-1)-{\frac {2\left\{3k^{2}-6k+N(2k^{2}-6k+1)\right\}}{5N(N +1)))-{\frac {6}{5}}\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{n_{i))))

Så vil statistikken i mangel af et skift have en -fordeling med og frihedsgrader. Således forkastes nulhypotesen på signifikansniveauet, hvis . $F={\frac {H(M-k+1)}{(k-1)(MH)))$ $F$ $\nu _{1}$ $\nu _{2}$ $\alfa$ $F>F_{\alpha }(\nu _{1},\;\nu _{2})$

Iman-Davenport Approximation

Ifølge den forkastes nulskiftshypotesen med sikkerhed , hvis , hvor ; , og er henholdsvis de kritiske værdier for Fisher- og chi-square- statistikken med de tilsvarende frihedsgrader. $\alfa$ ${\displaystyle J\geqslant J_{\alpha ))$ $J={\frac {H}{2}}\left(1+{\frac {Nk}{N-1-H}}\right)$ $J_{\alpha }=\venstre\{(k-1)F_{\alpha }(k-1;\;Nk)+\chi _{\alpha }^{2}(k-1)\ ret\}$ $F_{\alpha }(f_{1};\;f_{2})$ $\chi _{\alpha }^{2}(a)$

Dette er en bedre tilnærmelse end Kruskal-Wallis-tilnærmelsen. I nærvær af relaterede rækker (det vil sige, når værdierne af værdier fra forskellige prøver falder sammen, og de tildeles de samme gennemsnitlige rækker), er det nødvendigt at bruge den modificerede statistik , hvor ; er størrelsen af den th gruppe af identiske elementer; er antallet af grupper af identiske elementer. Ved , er tilnærmelsen af fordelingen af statistikker gyldig ; -fordeling med frihedsgrader, det vil sige nulhypotesen forkastes hvis . $H^{*}=H\venstre\{1-\venstre(\sum _{j=1}^{q}{\frac {T_{j}}{N^{3}-N}} \right)\right\}^{-1}$ ${\displaystyle T_{j}=t_{j}^{3}-t_{j))$ $t_{j}$ $j$ $q$ $n_{i}\geqslant 20$ $H$ $\chi ^{2}$ $f=k-1$ $H\geqslant \chi _{\alpha }^{2}(k-1)$

Se også

Cochrans kriterium

Litteratur

Kruskal WH, Wallis WA Brug af rang i ét-kriterium variansanalyse. // Journal of the American Statistical Association . - 1952, 47 nr. 260. - s. 583-621.
Likesh I., Lyaga J. Grundlæggende tabeller for matematisk statistik. - M .: Finans og statistik, 1985.
Kobzar AI anvendt matematisk statistik. - M.: Fizmatlit , 2006. - 466-468 s.