Dæmpede vibrationer

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 12. januar 2022; checks kræver 16 redigeringer .

Dæmpede svingninger er svingninger, hvis energi aftager med tiden. En uendelig vedvarende proces af arter er umulig i naturen. Frie oscillationer af enhver oscillator falmer før eller siden og stopper. Derfor beskæftiger man sig i praksis normalt med dæmpede svingninger. De er kendetegnet ved, at oscillationsamplituden A er en aftagende funktion. Typisk forekommer dæmpning under påvirkning af mediets modstandskræfter, oftest udtrykt som en lineær afhængighed af svingningshastigheden eller dens kvadrat. $u(t)=A\cos(\omega t+q)$ ${\displaystyle \scriptstyle u'_{t))$

I akustik: dæmpning - reduktion af signalniveauet til fuldstændig uhørbarhed.

Et eksempel er de dæmpede svingninger af et fjederpendul

Lad der være et system bestående af en fjeder (der adlyder Hookes lov ), hvis ene ende er stift fast, og på den anden er der et legeme med masse m . Oscillationer laves i et medium, hvor trækkraften er proportional med hastigheden med en koefficient c (se viskøs friktion ).

Så kan Newtons anden lov for det pågældende system skrives som

m{\vec {a}}={\vec {F}}_{c}+{\vec {F}}_{y},

hvor er modstandskraften, og er den elastiske kraft. Det viser sig $F_{c}=-cv$ $F_{y}=-kx$

ma+cv+kx=0,

eller i differentiel form

{\ddot {x}}+{c \over m}{\dot {x}}+{k \over m}x=0,

hvor er elasticitetskoefficienten i Hookes lov , er modstandskoefficienten, som etablerer forholdet mellem vægtens hastighed og den resulterende modstandskraft. $k$ $c$

For nemheds skyld introduceres følgende notation:

\omega _{0}={\sqrt {k \over m)),\qquad \zeta ={c \over 2{\sqrt {km}}}.

Værdien kaldes systemets egenfrekvens, dæmpningskoefficienten. Med denne notation antager differentialligningen formen $\omega_0$ $\zeta$

{\ddot {x}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0.

Ligningen af dæmpede svingninger. Mulige løsninger

Den sidste ligning i det foregående afsnit er den generelle ligning for dæmpede svingninger af en størrelse (som generelt set ikke behøver at være en koordinat). Hvis vi abstraherer fra hvordan parametrene blev opnået og i et specifikt eksempel, er en sådan ligning anvendelig til at beskrive en bred klasse af dæmpede systemer. $x$ $\omega_0$ $\zeta$

Efter at have foretaget substitutionen får vi den karakteristiske ligning ${\displaystyle x=e^{\lambda t))$

\lambda ^{2}+2\zeta \omega _{0}\lambda +\omega _{0}^{2}=0,

hvis rødder beregnes af formlen

\lambda _{\pm }=\omega _{0}(-\zeta \pm {\sqrt {\zeta ^{2}-1)))

Afhængig af værdien af dæmpningskoefficienten er løsningen opdelt i tre mulige muligheder.

aperiodicitet

Hvis , så er der to reelle rødder, og løsningen af differentialligningen har formen: $\zeta >1$

{\displaystyle x(t)=c_{1}e^{\lambda _{-}\,t}+c_{2}e^{\lambda _{+}\,t))

I dette tilfælde falder svingningerne eksponentielt fra begyndelsen.

Aperiodicitetsgrænse

Hvis , de to reelle rødder er de samme , og løsningen til ligningen er: $\zeta=1$ ${\displaystyle \lambda =-\omega _{0))$

{\displaystyle x(t)=(c_{1}t+c_{2})e^{-\omega _{o}t))

I dette tilfælde kan der være en midlertidig stigning, men derefter et eksponentielt forfald.

Svag dæmpning

Hvis , så er løsningen af den karakteristiske ligning to komplekse konjugerede rødder $\zeta <1$

{\displaystyle \lambda _{\pm }=-\omega _{0}\zeta \pm i\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2))))

Så er løsningen til den oprindelige differentialligning

x(t)=e^{-\zeta \omega _{0}t}(c_{1}\cos(\omega _{\mathrm {d}}t)+c_{2}\sin( \omega _{\mathrm {d} }t)),

hvor er den naturlige frekvens af dæmpede svingninger. ${\displaystyle \omega _{d}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2))))$

Konstanterne og i hvert af tilfældene bestemmes ud fra startbetingelserne: $c_1$ $c_2$ $\left\{{\begin{array}{ccc}x(0)&=&a\\{\dot {x}}(0)&=&b\end{array}}\right.$

Se også

Litteratur

Lit .: Saveliev I. V., Kursus i generel fysik: Mekanik, 2001.

Dæmpede vibrationer

Et eksempel er de dæmpede svingninger af et fjederpendul

Ligningen af ​​dæmpede svingninger. Mulige løsninger

Se også

Litteratur

Ligningen af dæmpede svingninger. Mulige løsninger