Goursat problem

Goursat-problemet er en slags grænseværdiproblem for hyperbolske ligninger og systemer af 2. orden med to uafhængige variable i henhold til data for to karakteristiske kurver, der kommer fra samme punkt.

Historisk baggrund

Opgaven er opkaldt efter matematikeren E. Goursat . I hans velkendte "Course of Mathematical Analysis" er et separat afsnit afsat til dette problem [1] .

Udtalelse af problemet

Lad en hyperbolsk ligning og en randbetingelse være givet i domænet. Opgave: find en løsning, der er regulær i domænet og kontinuerlig i lukningen ved randbetingelsen. $\Omega$ $u_{xy}=F(x,\,y,\,u,\,u_{x},\,u_{y})$ $\Omega$ ${\bar {\Omega ))$

I "Mathematical Encyclopedia" [2] er grænsebetingelsen formuleret som følger:

$u(0,\,t)=\varphi (t),\;u(t,\,1)=\psi (t),\;\varphi (1)=\psi (0)$ , hvor og får løbende differentierbare funktioner. $\varphi$ $\psi$

I lærebogen af Tikhonov og Samarsky [3] er det formuleret lidt anderledes:

$u(x,\,0)=\varphi _{1}(x),\;u(0,\,y)=\varphi _{2}(y)$ , hvor og opfylder konjugations- og differentiabilitetsbetingelserne. $\varphi_{1}$ $\varphi _{2}$

Det er let at se, at dette er et problem med data om ligningens karakteristika. Dette problem er bemærkelsesværdigt ved, at kun to funktioner er tilstrækkelige til at specificere løsningen (sammenlign med initial-grænseværdiproblemet).

Goursats "Kursus" omhandler en mere generel sag.

$u(x,\,\pi (x))=\varphi (x),\;u(\chi (y),\,y)=\psi (y)$

Løsning

Eksistensen af en løsning

Hvis en funktion er kontinuert for alle og tillader derivater for enhver , der er mindre end et bestemt tal i absolut værdi, så er der en unik og stabil løsning i domænet. $F$ $(x,\,y)\i {\bar {\Omega ))$ ${\displaystyle u,\;p=u_{x},\;q=u_{y))$ ${\displaystyle F_{u},\;F_{p},\;F_{q))$ ${\bar {\Omega ))$

Riemann metode

Det lineære tilfælde tages i betragtning. Den oprindelige ligning har formen . $Lu\equiv u_{xy}+au_{x}+bu_{y}+cu=f$

Riemann-funktionen introduceres , som er entydigt defineret som en løsning på ligningen $R(x,\,y;\;\xi ,\,\eta )$

$R_{xy}-(aR)_{x}-(bR)_{y}+cR=0$ ,

opfylder betingelserne

$R(\xi ,\,y;\;\xi ,\,\eta )=\exp \int \limits _{\eta }^{y}a(\xi ,\,t)dt$

$R(x,\,\eta ;\;\xi ,\eta )=\exp \int \limits _{\xi }^{x}b(t,\,\eta )dt$

hvor er et vilkårligt punkt. $(\xi ,\,\eta )\i \Omega$

Løsningen af Goursat-problemet i det lineære tilfælde i "Encyclopedia" er givet for $\varphi =\psi \equiv 0$

$u(x,\,y)=\int \limits _{0}^{x}d\xi \int \limits _{1}^{y}R(\xi ,\,\eta ;\ ;x,\,y)f(x,y)d\eta$

Metode til successive tilnærmelser

To sager behandles

$F(x,\,y,\,u,\,u_{x},\,u_{y})=f(x,\,y)$

Ved at integrere den oprindelige ligning konsekvent opnår vi den analytiske formel

$u(x,\,y)=\varphi _{1}(x)+\varphi _{2}(y)-\varphi _{1}(0)+\int \limits _{0} ^{y}\int \limits _{0}^{x}f(\xi ,\,\eta )d\xi d\eta$

Denne formel indebærer eksistensen og unikheden af en løsning på dette problem.

$F(x,\,y,\,u,\,u_{x},\,u_{y})=au_{x}+bu_{y}+cu+f$

Den oprindelige ligning konverteres til en integro-differentialligning

$u(x,\,y)=\int \limits _{0}^{y}\int \limits _{0}^{x}\left[au_{\xi}+bu_{\eta } +cu\right]d\xi d\eta +\varphi _{1}(x)+\varphi _{2}(y)-\varphi _{1}(0)+\int \limits _{0} ^{y}\int \limits _{0}^{x}f(\xi ,\,\eta )d\xi d\eta$

Denne ligning løses ved metoden med successive tilnærmelser. Nultilnærmelsen substitueres i integro-differentialligningen. Resultatet tages som den første tilnærmelse, som igen substitueres ind i integro-differentialligningen osv. Således opnås en uendelig sekvens . Dernæst bevises konvergensen af denne sekvens, og dens grænse findes . Denne grænse er løsningen på problemet. $u_{0}(x,\,y)=0$ ${\displaystyle \left\{u_{n}(x,\,y)\right\))$ $u(x,\,y)=\lim _{n\to \infty }u_{n}(x,\,y)$

Noter

↑ E. Gursa. Kursus i matematisk analyse, bind 3, del 1. - Moskva - Leningrad: Statens tekniske og teoretiske forlag, 1933.
↑ I. M. Vinogradov. Goursat problem // Matematisk encyklopædi. — M.: Sovjetisk Encyklopædi . - 1977-1985. (Russisk)
↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Matematisk fysiks ligninger. - Moskva: Hovedudgaven af den fysiske og matematiske litteratur fra Nauka-forlaget, 1977.