Grev Riba

I grafteori beskriver Reeb -grafen for en funktion forbindelsen mellem den funktions plane overflader . Blev introduceret af Georges Ribe [1]

Definition

Overvej en kontinuerlig funktion defineret på en kompakt manifold , . Det omvendte billede af et punkt er en plan overflade af funktionen . To punkter kaldes ækvivalente , hvis de hører til den samme forbundne komponent af den plane overflade . $f:M\to R$ $y\in R$ $f^{-1}(y)\subset M$ $x,x'\in M$ $x\!\sim x'$ $f^{{-1}}(y)$

Reeb-grafen for en funktion er kvotientrummet for manifolden med hensyn til en sådan ækvivalensrelation , . Grafens hjørner er de forbundne komponenter i funktionens kritiske niveauer. Grafens orientering bestemmes af retningen af funktionens gradient . $f$ $M$ $G=M/\!\sim$ $G$ $f$

Egenskaber

Følgende egenskaber ved Reeb-grafen blev bevist i hans skelsættende arbejde [1] :

Lad en morsefunktion f være givet på en kompakt- dimensionel manifold af glathedsklasse , hvis kritiske punkter svarer til forskellige kritiske værdier af funktionen. Sættet af sådanne funktioner er åbent og tæt i rummet af alle funktioner. Betegn Reeb-grafen for denne funktion. Derefter: $n$ $C^{2}$ $\Gamma$

Hjørnene af grad 1 af grafen svarer nøjagtigt til de kritiske punkter for funktionen f af indeks 0 og n . $\Gamma$
If , grafens toppunkt svarende til det kritiske niveau af funktionen f , som indeholder det kritiske punkt for indeks 1 og n-1 , kan have grad 2 eller 3 . $n\geq 3$
Hvis , grafens hjørnepunkter svarende til kritiske punkter i indeks 1 kan have grad 2 , 3 eller 4 . $n\,=2$
Graden af et grafens toppunkt svarende til et kritisk niveau af en funktion f , der indeholder et andet kritisk indekspunkt end 0 , 1 , n-1 og n , er altid 2 .

Disse egenskaber af grafen indebærer en mærkelig egenskab ved Morse-funktioner, bevist på samme sted [1] :

Betegn funktionerne af indeks k og nk med sættet af kritiske punkter . Hvis , så . ${\displaystyle \Omega _{k))$ $n\geq 3$ $|\Omega _{0}|\leq |\Omega _{1}|+2$

Ansøgning

Reeb-grafer bruges i matematik, når man studerer

topologisk klassificering af morsefunktioner [2]
Hamiltonske systemer [3]

Reeb-grafer, og især de acykliske Reeb-grafer kaldet konturtræer , finder bred anvendelse i computerapplikationer:

i computerdesign og geometrisk modellering,
i geometriske modeller af datastruktur og databasesøgningsmetoder
i systemer til automatisering af designarbejder .

Noter

↑ 1 2 3 G. Reeb , Sur les points singuliers d'une forme de Pfaff complétement intégrable ou d'une fonction numérique. — CRAS Paris 222, 1946, s. 847-849. [1] Arkiveret 9. marts 2016 på Wayback Machine
↑ Sharko V.V. Glat og topologisk ækvivalens af funktioner på overflader. // Ukrainsk matematisk tidsskrift. 2003. V. 55. Nr. 5. S. 687-700.
↑ A. V. Bolsinov, A. T. Fomenko, Introduktion til topologien af integrerbare Hamilton-systemer, Nauka, M., 1997.