Willmores hypotese

Willmore-formodningen er en nedre grænse for Willmore-energien i en torus . Hypotesen er opkaldt efter den engelske matematiker Thomas Willmore , som formulerede den i 1965 [1] . Beviset for formodningen blev annonceret af Markish og Neves i 2012 og offentliggjort i 2014 [2] [3] .

Willmore Energy

Lad være en glat nedsænkning af en kompakt orienteret overflade . Lad en manifold M og en Riemannsk metrik genereret ved en fordybelse gives . Lad være den gennemsnitlige krumning ( aritmetisk middelværdi af de vigtigste krumninger κ 1 og κ 2 i hvert punkt). I denne notation er Willmore-energien W ( M ) af manifolden M givet af $v:M\to \mathbb {R} ^{3}$ $v$ $H:M\to \mathbb {R}$

W(M)=\int _{M}H^{2}\,dA.

Det er ikke svært at bevise, at Willmore-energien tilfredsstiller uligheden med lighed, hvis og kun hvis manifolden M er en indlejret sfære . $W(M)\geqslant 4\pi$

Erklæring

Beregningen af værdien af W ( M ) for flere eksempler tyder på, at der må være en bedre grænse end for overflader med slægt . Især udregningen af W ( M ) for en torus med forskellige symmetrier førte Willmore i 1965 til følgende formodning, som nu bærer hans navn $W(M)\geqslant 4\pi$ $g(M)>0$

For enhver torus M jævnt nedsænket i R 3 , gælder uligheden .

{\displaystyle W(M)\geqslant 2\pi ^{2))

I 1982 beviste Peter Lee og Yau Xingtong formodningen i det ikke-indlejrede tilfælde ved at vise, at hvis er en nedsænkning af en kompakt overflade, der ikke er en indlejring, så er W ( M ) mindst [4] . ${\displaystyle f:\Sigma \to S^{3))$ $8\pi$

I 2012 beviste Fernando Koda Markish og André Neves formodningen i det indlejrede tilfælde ved hjælp af Almgren-Pitts minimax-teori om minimale overflader [2] [3] . Martin Schmidt hævdede et bevis i 2002 [5] , men papiret blev ikke accepteret til offentliggørelse i noget peer-reviewed matematisk tidsskrift (selvom papiret ikke indeholdt et bevis for Willmores formodning, beviste Schmidt nogle andre vigtige formodninger i papiret). Før beviset for Markish og Neves, var Willmores formodning allerede blevet bevist for mange specielle tilfælde, såsom tubular torus (af Wilmore selv) og tori of revolution (af Langer og Singer) [6] .

Noter

↑ Willmore, 1965 , s. 493-496.
↑ 12 Morgan , 2012 .
↑ 1 2 Marques, Neves, 2014 , s. 683-782.
↑ Li, Yau, 1982 , s. 269-291.
↑ Schmidt, 2002 .
↑ Langer, Singer, 1984 , s. 531-534.

Litteratur

Thomas J. Willmore. Bemærkning om indlejrede overflader // Analele Ştiinţifice ale Universităţii "Al. I. Cuza" din Iaşi, Secţiunea I a Matematică. - 1965. - T. 11B .
Peter Li, Shing Tung Yau. En ny konform invariant og dens anvendelser på Willmore-formodningen og den første egenværdi af kompakte overflader // Inventiones Mathematicae . - 1982. - T. 69 , no. 2 . - doi : 10.1007/BF01399507 .
Frank Morgan. Matematik finder den bedste donut // The Huffington Post . – 2012.
Fernando C. Marques, André Neves. Min-max-teori og Willmore-formodningen // Annals of Mathematics . - 2014. - T. 179 . — S. 683–782 . - doi : 10.4007/annals.2014.179.2.6 . - arXiv : 1202.6036 .
Martin U Schmidt. Et bevis på Willmore-formodningen. - 2002. - arXiv : math/0203224 .
Joel Langer, David Singer. Kurver i det hyperbolske plan og middelkrumning af tori i 3-rum // The Bulletin of the London Mathematical Society. - 1984. - T. 16 , no. 5 . — S. 531–534 . - doi : 10.1112/blms/16.5.531 .