Hyperfunktion (matematik)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 8. marts 2017; verifikation kræver 1 redigering .

Hyperfunktion (matematik) - udviklingen af begrebet en generaliseret funktion . Hyperfunktionen af en variabel er forskellen mellem grænseværdierne på den reelle akse af to holomorfe funktioner defineret henholdsvis i det øvre og nedre halvplan af det komplekse plan. Hyperfunktioner af flere variable er defineret som elementer i en kohomologisk gruppe med koefficienter i bunken af holomorfe funktioner [1] . Hyperfunktioner blev opdaget af Mikio Sato i 1958 [2] [3] .

Hyperfunktion af en variabel

Hyperfunktionen af en variabel kan betragtes som forskellen på den reelle akse mellem en holomorf funktion defineret på den øvre komplekse halvplan og en anden defineret på den nedre komplekse halvplan - [1] . Hyperfunktionen af en variabel bestemmes kun af forskellen mellem to funktioner på den reelle akse og ændres ikke, når der lægges til og den samme funktion holomorf på hele det komplekse plan , således at hyperfunktionerne og defineres som ækvivalente. $f$ $g$ $(f,g)$ $fg$ $f$ $g$ $h$ $(f,g)$ $(f+h,g+h)$

Hyperfunktion af mange variabler

Lade være en presheaf i , defineret som følger [4] : hvis ikke afgrænset, så ; hvis begrænset, så ; Begrænsninger er defineret som: , hvis ikke begrænset , hvis begrænset. En hyperfunktionsskær på er en hylder forbundet med en forskæg . $B'$ $R^{n}$ $\Omega$ $B'(\Omega )=\venstre\{0\right\}$ $\Omega$ $B'(\Omega )=B(\Omega )$ $B'(\Omega )\rightarrow B'(\omega )$ $0\rightarrow 0$ $\Omega$ $T\rightarrow T|\omega$ $\Omega$ $R^{n}$ $B$ $B'$

Hyperfunktion på bestemmes af: dækning, hvor åben og begrænset; og elementer for hvilke . $\Omega$ ${\displaystyle \Omega =\bigcup _{i\in I}\Omega _{i))$ ${\displaystyle \Omega _{i))$ $T_{i}\in B(\Omega _{i})$ ${\displaystyle T_{i}|\Omega _{i}\cap \Omega _{j}=T_{j}|\Omega _{i}\cap \Omega _{j))$

To sådanne sæt og bestemme den samme hyperfunktion if $(\Omega _{i},T_{i}),i\in I$ $(\Omega _{i'},T_{i'}),i'\in I'$ $T_{i}|\Omega _{i}\cap \Omega _{i'}=T_{i'}|\Omega _{i}\cap \Omega _{i'},\forall i\ i I,i'\in I'$

Eksempler

For enhver funktion f, der er holomorf på hele det komplekse plan, er hyperfunktionen dens værdier på den reelle akse, som kan repræsenteres som eller . $(f,0)$ $(0,-f)$
Heaviside-funktionen kan repræsenteres som en hyperfunktion:

H(x)=\left({\tfrac {1}{2\pi i}}\log(z),{\tfrac {1}{2\pi i}}\log(z)-1 \ret).

Dirac delta-funktionen kan repræsenteres som en hyperfunktion:

\left({\tfrac {1}{2\pi iz)),{\tfrac {1}{2\pi iz}}\right).

Operationer på hyperfunktioner

Multiplikation med en analytisk funktion . Lad være en analytisk funktion, vær en analytisk funktionel . Derefter defineres produktet af formlen . $f\in {\mathfrak {A}}(\Omega )$ $u\in {\mathfrak {A'}}(\Omega )$ $fu\in {\mathfrak {A'}}(\Omega )$ $\langle fu,g\rangle =\langle u,fg\rangle ,\forall g\in {\mathfrak {A}}(\Omega )$

En hyperfunktion er defineret af sekvensen [5] $fT$ $f{\overline {T_{n}}}|\Omega _{n}$

Konvolution. Lade være en holomorphic funktionel , være en holomorphic funktion med topologi. Så er foldningen defineret af formlen . Hyperfunktionen er defineret af sekvensen [6] $u\in H'(C^{n})$ $f\in H(C^{n})$ $u*f\in H(C^{n})$ $(u*f)(z)=\langle u_{\xi },f(z-\xi )\rangle$ $u*T$ ${\displaystyle (u*T_{n})|\Omega _{np))$

Se også

Generaliseret funktion

Noter

↑ 1 2 Shapira, 1972 , s. 5.
↑ Sato, Mikio (1959), Theory of Hyperfunctions, I, Journal of the Science Faculty, University of Tokyo. Sekt. 1, Matematik, astronomi, fysik, kemi, bind 8 (1): 139–193
↑ Sato, Mikio (1960), Theory of Hyperfunctions, II, Tidsskrift for Det Naturvidenskabelige Fakultet, Tokyos Universitet. Sekt. 1, Matematik, astronomi, fysik, kemi bind 8 (2): 387–437
↑ Shapira, 1972 , s. 61.
↑ Shapira, 1972 , s. 65.
↑ Shapira, 1972 , s. 66.

Litteratur

Hormander L. Lineære differentialoperatorer med partielle afledte. - M . : Mir, 1965. - 379 s.
Shapira P. Teori om hyperfunktioner. — M .: Mir, 1972. — 141 s.
Hormander L. Analyse af lineære differentialoperatorer med partielle derivater. Bind I. Fordelingsteori og Fourieranalyse. — M .: Mir, 1986. — 462 s.