Geodætisk flow

Et geodætisk flow på en manifold er et flow (eller med andre ord en én-parameter gruppe af diffeomorfismer ) på et tangentbundt, hvis baner er defineret som følger: hver vektor bevæger sig fremad langs den geodætiske tangent til den i tid, mens den forbliver tangent til denne geodætiske . $M$ $TM$ $v$ $t$ $t$

I en vis forstand generaliserer et sådant flow bevægelse med konstant hastighed i det euklidiske rum . Det er også værd at understrege, at den geodætiske strømning på trods af navnet er en strømning i betydningen dynamiske systemer, defineret præcist på tangentbundtet , og ikke på selve manifolden . $\mathbb {R} ^{n}$ $TM$ $M$

Man betragter ofte et geodætisk flow på rummet af enhedstangentvektorer (fordi længden af en vektor er bevaret under et geodætisk flow). $T_1 M$

Den geodætiske strømningsligning i en Riemannmanifold kan ses som en ligning af Hamiltonsk mekanik ved nul potentiel energi.

Eksempler

Som nævnt ovenfor, for en standard euklidisk metrik, definerer den geodætiske strømning bevægelse ved en konstant hastighed: ${{\mathbb {R}}}^{n}$

\Phi^t({X},{V})=( {X}+{V} t, {V}).

Banerne for den geodætiske strømning på Lobachevsky-planet har en tendens til det absolutte både fremad og tilbage.
Den geodætiske strømning på en mangfoldighed af negativ krumning viser sig at være en Anosov-strøm : dens dynamik er kaotisk. Et særligt tilfælde af dette er flowet på en Riemann-overflade af slægten , forsynet med Poincaré-metrikken . $g>1$

Se også

Geodætisk
Fermats princip
Oricyklisk strømning

Litteratur

Dubrovin B.A., Novikov S.P., Fomenko A.T., Modern geometri, v.2. Manifoldernes geometri. M.: Redaktionel URSS, 1998.