Betatron-svingninger

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 11. september 2018; verifikation kræver 1 redigering .

Betatron-oscillationer er hurtige tværgående oscillationer udført af en partikel i de fokuserende magnetiske felter i en accelerator . Betatron-oscillationer er hovedemnet for undersøgelse af elektronoptik , en gren af acceleratorfysik .

Hills ligning

Til tværgående fokusering af en partikelstråle i en transportkanal eller i en cyklisk accelerator bruges elementer, der skaber et magnetfelt, der afhænger lineært af den tværgående koordinat . For en partikel, der bevæger sig langs en krumlinjet bane i magnetiske felter, kan vi introducere en referenceligevægtspartikel og et tilhørende kartesisk koordinatsystem, det såkaldte. trihedron af Serret Frenet . Afvigelser fra ligevægtsparklen i alle tre retninger vil blive betragtet som små. Så, efter lineariseringen af bevægelsesligningerne for en partikel i et magnetfelt, viser det sig, at bevægelsen i forskellige frihedsgrader er uafhængig, og for to tværgående koordinater er bevægelsen beskrevet af et par af Hills ligninger : ${\vec {B}}(x,y)$ $(x=r-r_{0},y,\Delta s)$

${\begin{cases}x''+k_{x}(s)x=0\\y''+k_{y}(s)y=0\\\end{cases)).$

Her er periodiske funktioner i tilfælde af en cyklisk accelerator. er magnetfeltets gradient, og primtallet betyder den afledede med hensyn til s, en uafhængig variabel, et element i ligevægtsbanens bue. Produktet af det førende felt og krumningsradius kaldes magnetisk stivhed , som er unikt relateret til partikelenergien ved forholdet , hvor er partiklens ladning. $k_{x}(s)={\frac {1}{r_{0}^{2}}}+{\frac {G(s)}{B\rho }}$ $k_{y}(s)=-{\frac {G(s)}{B\rho }}$ $G(s)={\frac {\partial B_{z)){\partial x))$ ${\displaystyle B\rho =B\cdot r_{0))$ $pc=eZB\rho$ $eZ$

For endimensionel bevægelse er løsningen på Hill-ligningen kvasi-periodiske svingninger. Løsningen kan skrives som , hvor er Twiss beta-funktionen , er betatron- faseindtrængen og er den invariante amplitude. Ofte også, i stedet for beta-funktionen, den såkaldte. Floquet-funktionen , som er hylsteret af partikelbaner. $x(s)=A{\sqrt {\beta _{x}(s)))\cdot cos(\Psi _{x}(s)+\phi _{0})$ $\beta (s)$ $\Psi(s)$ $EN$ $w_{x}(s)={\sqrt {\beta _{x}(s)))$

Hvis bevægelsesligningen er løst for en transportkanal, så bestemmes den specifikke form for betafunktionen af startbetingelserne ved indgangen til kanalen. Hvis dynamikken i en cyklisk accelerator studeres, så er envelope og beta-funktionen periodiske funktioner. Evnen til at parametrisere løsningen til Hills ligning på den ovenfor beskrevne måde skyldes Floquets teorem .

Matrix formalisme

Da Hill-ligningen er lineær, er det muligt og bekvemt at anvende matrixformalismen . Lad os sammensætte en vektor ud fra et par variable , som løsningen kan skrives til i matrixform: $(x,x')$

${\begin{pmatrix}x(s)\\x'(s)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}t_{11}&t_{12}\\t_{21}&t_{22 }\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x(s_{0})\\x'(s_{0})\end{pmatrix}},$

hvor matricen kaldes transportmatricen. Som regel kan acceleratorens magnetfelter langs strålebevægelsen beskrives på en stykkevis-konstant måde, som en sekvens af magnetiske elementer ( dipolmagnet , quadrupol linse , tom spalte). Hvert magnetisk element, ud fra et partikeldynamiks synspunkt, er beskrevet af sin egen transportmatrix. For eksempel, for en-dimensionel bevægelse, kan du skrive matricer ud: $T(s_{0}\to s)$

et tomt mellemrum med længden L: eller en quadrupol linse: ${\begin{pmatrix}1&L\\0&1\end{pmatrix)),$ ${\begin{pmatrix}cos({\sqrt {k_{x}}}L)&{\frac {1}{\sqrt {k_{x}}}}sin({\sqrt {k_{x }}}L)\\-{\sqrt {k_{x}}}sin({\sqrt {k_{x}}}L)&cos({\sqrt {k_{x}}}L)\end{pmatrix }}.$

Rækkefølgen af flere magnetiske elementer beskrives henholdsvis ved produktet af deres matricer (sammensat fra højre mod venstre!): . Hele ringen af den cykliske accelerator er en periode, hvad angår partikelfokusering, og er beskrevet af den såkaldte inverse matrix . På grund af Liouville-sætningen om bevarelse af fasevolumenet har alle transportmatricer egenskaben symplecticitet , som for endimensionel bevægelse og 2 × 2 matricer betyder enhedsdeterminanten : . ${\displaystyle T=T_{n}\dots T_{2}T_{1))$ $M(s)=T(s\to s+\Pi )$ ${\begin{vmatrix}T(s_{1}\to s_{2})\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}M(s)\end{vmatrix}}=1$

Oscillationsstabilitet

Dårlig fokus

Lad os betragte den såkaldte azimutsymmetriske accelerator, dvs. en maskine, hvis fokusering ikke afhænger af bevægelse langs ringen . Så er det let at se, at Hills ligninger bliver til ligninger for en almindelig harmonisk oscillator , og løsningen vil enten være stabile harmoniske svingninger eller ustabile hyperbolske funktioner, hvis . Ofte introduceres en dimensionsløs henfaldsfaktor i stedet for feltgradienten G eller fokuseringsstivheden k . Som følge heraf vil stabilitetstilstanden i en azimutsymmetrisk accelerator samtidigt i to tværgående koordinater være , dvs. . Og selvom en rigtig accelerator aldrig har perfekt azimutal symmetri (på grund af behovet for at placere en accelererende resonator, partikelinjektion osv.), blev den første generation af cykliske acceleratorer bygget i overensstemmelse med dette princip, faktisk en lokal tilstand med samtidig stabilitet i begge frihedsgrader [1] . Dette princip blev efterfølgende kaldt svag fokusering . $k(s)=const$ $k<0$ $n=-{\frac {Gr_{0}^{2}}{B\rho }}$ $k_{x,y}>0$ $1>n>0$

For en azimutsymmetrisk maskine er det let at beregne de strukturelle funktioner, for eksempel er betafunktionen direkte proportional med magnetens radius , og da strålestørrelsen er proportional med produktet af konvolutten og emittansen , så med en stigning i stråleenergien, og dermed størrelsen af acceleratoren, vokser strålestørrelsen uundgåeligt (og med det - vakuumkammer og størrelsen af magnetiske elementer). Den sidste svagt fokuserende accelerator i højenergifysik, 10 GeV protonsynkrophasotronen i Dubna, havde et vakuumkammer, hvor en person kunne klatre på alle fire, og vægten af styrefeltmagneten var over 30.000 tons. $\beta _{x}(s)=r_{0}/(1-n)$ ${\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\beta _{x}\cdot \epsilon _{x))))$

Stærkt fokus

Princippet om stærk fokusering kan forstås ved følgende eksempel: Hvis to tynde linser placeres bag hinanden i en vis afstand, hvor den ene fokuserer den anden defokusering, så kan dubletten, der dannes under visse forhold, vise sig at fokusere. Med andre ord, lokal "ustabilitet" (defokusering) ødelægger ikke nødvendigvis global stabilitet.

Overvej matrixen (for nemheds skyld 2×2) for perioden for acceleratorens fokuseringsstruktur, den inverse matrix M(s). Til det kan man konstruere et par komplekse konjugerede egenvektorer

$Y_{x},Y_{x}^{*}={\begin{pmatrix}w_{x}(s)\\w_{x}'(s)\pm {\frac {i}{w_ {x}(r)}}\end{pmatrix}},$

og et par egenværdier , hvor er betatronfaseindfaldet pr. omdrejning, er den dimensionsløse frekvens af betatronoscillationer. Hvis vektoren af begyndelsesværdier er udvidet med hensyn til basis af egenvektorer, vil partiklens afvigelse efter en omdrejning være lig med , efter n omdrejninger . Det er klart, at for at sikre stabilitet, det vil sige fraværet af en stigning i amplituden af oscillationer, er det nødvendigt , eller med andre ord . ${\displaystyle \lambda _{1,2}=e^{\pm i\mu }=e^{\pm i2\pi \nu ))$ $\mu =\int \limits _{s}^{s+\Pi }\Psi (s)$ $\nu$ ${\vec {X_{0}}}=(x_{0},x'_{0})$ ${\vec {X_{1}}}=M\cdot {\vec {X_{0}}}=c_{1}\lambda _{1}Y+c_{2}\lambda _{2} Y^{*}$ ${\vec {X_{n}}}=M^{n}{\vec {X_{0}}}=c_{1}\lambda _{1}^{n}Y+c_{2} \lambda _{2}^{n}Y^{*}$ ${\begin{vmatrix}\lambda _{1,2}\end{vmatrix}}\leqslant 1$ $\nu \in \mathbb {R}$

Den fysiske betydning af betatronfrekvensen er antallet af svingninger pr. omdrejning. I tilfælde af en azimutsymmetrisk maskine er betatronfrekvenserne mindre end 1. Stærk fokusering er karakteriseret ved relationerne . Hvis vi bruger den såkaldte glattede tilnærmelse (det vil sige at tegne en analogi mellem en hårdfokuserende ring og en azimutalt symmetrisk maskine), så vil estimatet for betafunktionen være . For en elektronaccelerator falder værdien af ligevægtsstrålingsemittansen desuden i sammenligning med tilfælde af svag fokusering . Som et resultat falder strålestørrelsen betydeligt, og dermed størrelsen af vakuumkammeret og magnetiske elementer. $\nu$ $\nu _{x}={\sqrt {1-n)),\nu _{y}={\sqrt {n))$ ${\begin{vmatrix}n\end{vmatrix}}\gg 1,\nu _{x,y}\gg 1$ ${\displaystyle \beta _{x,y}=r_{0}/\nu _{x,y}\ll r_{0))$

Twiss parametrisering

Når du bruger Twiss-parametrene ( og ), kan den inverse matrix skrives i en generel praktisk form: $\alfa ,\beta ,\gamma$ $\psi$

$M(s)={\begin{pmatrix}cos(\mu )+\alpha (s)\sin(\mu )&\beta (s)\sin(\mu )\\-\gamma (s )\sin(\mu )&cos(\mu )-\alpha (s)\sin(\mu )\end{pmatrix}}.$

I dette tilfælde kan stabilitetsbetingelsen nævnt ovenfor skrives ud fra matrixens egenskaber: . ${\begin{vmatrix}Tr(M)/2\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}cos(\mu )\end{vmatrix}}\leqslant 1$

Eksempel: FO-struktur

Overvej et simpelt eksempel på en-dimensionel bevægelse: en periodisk fokuseringsstruktur bestående af et tomt mellemrum og en tynd fokuseringslinse. Periodematricen beregnet i begyndelsen af perioden fås ved at gange de enkelte elementers matricer:

$M(0)={\begin{pmatrix}1&0\\-P&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&L\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix} 1&L\\-P&1-PL\end{pmatrix}}.$

Her er objektivstyrken, som er omvendt proportional med brændvidden. Stabilitetstilstanden giver . Hvis den første betingelse er indlysende - objektivet skal fokusere, så begrænser den anden betingelse fokuseringskraften fra oven. $P=1/F$ ${\begin{vmatrix}Tr(M)/2\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1-PL/2\end{vmatrix}}\leqslant 1\to (0<PL<4 )$

Eksempel: FODO-struktur

I praksis er FO-strukturen kun anvendelig ved lave energier, hvor aksial fokusering af et solenoidfelt er tilgængelig. I højenergiacceleratorer bruges som regel quadrupol linsefokusering , hvis egenskab, pålagt af Maxwells ligninger i vakuum, er defokusering langs en af koordinaterne, mens der fokuseres langs den anden. En af de enkleste muligheder for at sikre stabilitet i begge koordinater er at fokusere med dubletter af F- og D-objektiver (en linse kaldes en fokuseringslinse eller en F-linse, hvis den fokuserer i det vandrette plan).

Noter

↑ Faktisk kan det påvises, at betingelsen for lokal fokusering i begge koordinater ikke garanterer den globale stabilitet af oscillationer.

Litteratur

The Strong-Focusing Synchrotron - A New High-Energy Accelerator , ED Courant , MS Livingston , HS Snyder , Phys. Rev. 88, 1190-1196 (1952).
Theory of the Alternating-Gradient Synchrotron , E.D. Courant, H.S. Snyder, Ann. Phys. , 1958, v.3, s. en.
"Teori om cykliske acceleratorer", A.A. Kolomensky , A.N. Lebedev , M., 1962.
"Cycliske acceleratorer af ladede partikler", G. Brook, trans. fra French, Moskva, 1970.
Betatron-oscillationer i Encyclopedia of Physics .
Partikelfokusering i Physical Encyclopedia.