Et sikkert primtal er et primtal af formen 2p + 1, hvor p også er et primtal (og omvendt, p er et Sophie Germain-primtal ). De første par sikre primtal er:
5 , 7 , 11 , 23 , 47 , 59 , 83 , 107 , 167 , 179 , 227 , 263 , 347 , 359 , 383 , 467 , 479 , 503 , 563 , 7 , 8 , 8 , 7 , 8 , 8 , 7 , 8 , 7 , 8 , 7 , 7 1019, 1187, 1283, 1307, 1319, 1367, 1439, 1487, 1523, 1619, 1823, 1907, … ( A005385 )Med undtagelse af 7 er det sikre primtal q af formen 6 k − 1 eller tilsvarende q ≡ 5 ( mod 6) - hvor p > 3. På samme måde, med undtagelse af 5, er det sikre primtal tal q er repræsenteret på formen 4 k − 1 eller tilsvarende, q ≡ 3 (mod 4) er et trivielt udsagn, da ( q − 1) / 2 skal være et ulige naturligt tal . Ved at kombinere begge former ved hjælp af LCM (6,4) får vi, at det sikre primtal q > 7 også skal kunne repræsenteres som 12k −1 eller tilsvarende q ≡ 11 (mod 12).
Primer af denne art kaldes sikre på grund af deres forbindelse med stærke primtal . Et primtal q kaldes et strengt primtal, hvis q + 1 og q − 1 begge har store primtalsdelere[ angiv ] . For et sikkert primtal q = 2p + 1 har tallet q − 1 naturligvis en stor divisor, nemlig p , således at q delvist opfylder det stærke primtal. Køretiden for nogle metoder til at faktorisere et tal med q som divisor afhænger til dels af størrelsen af primdivisorerne for q − 1. Dette gælder for eksempel for Pollards ρ-algoritme +1 og −1 metoder. Selvom de fleste kendte effektive nedbrydningsmetoder ikke afhænger af størrelsen af primtalsdivisorerne i q −1-nedbrydningen, anses dette ikke desto mindre for vigtigt for kryptering: for eksempel kræver ANSI X9.31- standarden, at stærke primtal (ikke sikre primtal ) er bruges til RSA .
Sikre primtal er også vigtige i kryptografi for deres brug i diskrete logaritmebaserede tilgange såsom Diffie-Hellman-algoritmen . Hvis 2p + 1 er et sikkert primtal, har den multiplikative gruppe af tal modulo 2p + 1 en højordens undergruppe . Dette er normalt den undergruppe du ønsker, og grunden til at bruge sikre primtal er fordi modulet er lille i forhold til p .
Sikre primtal, der også opfylder visse betingelser , kan bruges til at generere pseudo-tilfældige tal til brug i Monte Carlo-metoden .
Der er ingen test for sikre primtal, som der er for Fermat -tal og Mersenne-tal . Pocklington-testen kan dog bruges til at teste for primaliteten af 2 p + 1, når primaliteten af p er indstillet.
Med undtagelse af 5 er der ingen Fermat-primtal, der også er sikre. Da Fermat-primtallene har formen m F = 2 n + 1, følger det, at ( F − 1)/2 er en potens af to .
Med undtagelse af 7 er der ingen Mersenne-primtal, der også er sikre. Dette følger af det ovenfor nævnte faktum, at alle sikre primtal undtagen 7 er af formen 6 k − 1. Mersenne-tal er af formen 2 m − 1, men så 2 m − 1 = 6 k − 1, hvilket indebærer, at 2 m er deleligt med 6, hvilket er umuligt.
Alle elementer i Cunningham-sekvensen undtagen den første er Sophie Germain-tal af den første slags, så alle elementer undtagen de første i kæden er sikre primtal. Primtal, der ender på 7, det vil sige af formen 10 n + 7, hvis de forekommer i sådanne kæder, er altid de sidste, da 2(10 n + 7) + 1 = 20 n + 15 er deleligt med 5.
Hvis det sikre primtal q er 7 mod 8, er det en divisor af Mersenne-tallet , som svarer til Sophie Germain-tallet (brugt som potens).
Fra marts 2010 er det største kendte pengeskabsnummer 183027 2 265441 −1. Dette nummer, ligesom det tilsvarende største kendte Sophie Germain-nummer, blev fundet af Tom Wu den 22. marts 2010 ved hjælp af programmerne sgsieve og LLR [1] .
Den 5. februar 2007 blev modulet for den diskrete logaritme af et 160-cifret (530-bit) sikkert primtal beregnet. Se poster for diskrete logaritmer .