Tarskis aksiomatik (reelle tal)

Tarskis aksiomatik af reelle tal er en variant af det aritmetiske aritmetiske system af reelle tal foreslået af Alfred Tarski i 1936 [1] .

Funktioner

Denne aksiomatiske af Tarski kan betragtes som en version af den mere sædvanlige definition af mængden af ​​reelle tal som et enkelt ordnet felt komplet i betydningen Dedekind [2] (se også Egenskab med mindst øvre grænse ).

Tarskis tilgang indeholder i modsætning til mere almindelige analoger (se artiklen Reelle tal ), kun 9 aksiomer, der forbinder fire primitive begreber [3] .

Det skal bemærkes, at Tarskis aksiomatik ikke bruger logik af den første , men af ​​den anden orden , som også adskiller den fra analoger. Aksiomatikkens korthed opnås gennem brugen af ​​uortodokse varianter af standard algebraiske aksiomer og andre subtile tricks (se f.eks. aksiomer 5 og 6, som kombinerer de sædvanlige fire aksiomer for abelske grupper ). Derudover nødvendiggør kompaktheden af ​​listen af ​​aksiomer det kedelige bevis på en lang række af sætninger, der "bringer" teorien til et praktisk niveau [4] .

Axiomatics

Tarskis aksiomatik bruger fire primitive (udefinerede) begreber.

  1. Et sæt tal, betegnet R .
  2. En binær relation af den fulde rækkefølge af elementerne i R , angivet med infikset symbolet <.
  3. Den binære additionsoperation på R , angivet med infix-symbolet +.
  4. Konstant 1.

Disse begreber er forbundet med følgende ni aksiomer [3] .

Ordensaksiomer for R
  1. ( linearitet ): hvis x ≠ y , så enten x < y eller y < x .
  2. ( asymmetri ): hvis x < y , så er y < x falsk .
  3. (ordenstæthedslov): hvis x < z , så er der et y , således at x < y og y < z .
  4. (Dedekinds kontinuitetsaksiom): for enhver delmængde X , Y ⊆ R , hvis x  <  y for enhver x  ∈  X og y  ∈  Y , så eksisterer der et element z , således at for enhver x  ∈  X og y  ∈  Y gælder følgende egenskab : hvis z  ≠  x og z  ≠  y , så x  <  z og z  <  y .

Det sidste aksiom betyder klart, at hvis alle elementer i mængden X er placeret på den numeriske akse til venstre end alle elementer i mængden Y, så er der mindst et reelt tal mellem disse mængder. Det er dette aksiom, der indeholder to delmængdekvantifikatorer , der gør, at Tarskis aksiomatik ikke hører til den første, men til den anden logikorden. Ved at bruge kontinuitetsaksiomet tillader man (efter at have defineret multiplikation) først at introducere rationelle tal [5] , og derefter vilkårlige reelle tal som Dedekind-sektioner [2] .

Additionsaksiomer
  2. x  + ( y  +  z ) = ( x  +  z ) +  y .
  3. (mulighed for subtraktion ): for enhver x , y , er der en z , således at x  +  z  =  y . En af konsekvenserne af dette aksiom er eksistensen af ​​nul som en løsning på ligningen 1 +  x  = 1.
  4. hvis x  +  y  <  z  +  w , så x  <  z eller y  <  w .
Aksiomer for enhed
  2. (eksistens): 1 ∈ R .
  3. 1 < 1 + 1.

Tarski beviste, at alle aksiomer undtagen det første er uafhængige (det første kan udledes af de andre [4] ). Det kan udledes af aksiomerne, at R er en lineært ordnet abelsk delelig gruppe med hensyn til addition med et positivt fornemt element 1. Eksistensen af ​​multiplikation , division og deres sædvanlige egenskaber er også bevist. R er komplet i betydningen Dedekind .

Bemærk

Det første aksiom ( rækkefølgens linearitet ) følger af resten af ​​aksiomerne [6] .

Se også

Noter

  1. ↑ Tarski, Alfred. Introduktion til logik og til deduktive  videnskabers metodologi . - 4. - Oxford University Press , 1994. - ISBN 978-0-19-504472-0 .
  2. ↑ 1 2 Se Dedekind-tilgangen i bogen: Fikhtengolts G. M. The course of differential and integral calculus. - Ed. 6. - M . : Nauka, 1966. - T. I.
  3. ↑ 1 2 Tarski. Introduktion til logik, 1948 , s. 275.
  4. ↑ 1 2 Tarski. Introduktion til logik, 1948 , s. 278.
  5. ↑ Tarsky. Introduktion til logik, 1948 , s. 285.
  6. ↑ Ucsnay, Stefanie. En note om Tarskis note  //  The American Mathematical Monthly  : tidsskrift. - 2008. - Januar ( bind 115 , nr. 1 ). - S. 66-68 . — .

Litteratur