Kerne (statistik)

Kernen ( engelsk kernel ) i statistik og økonometri kaldes vinduet (vægtfunktion). Bayesiansk , ikke- parametrisk statistik og mønstergenkendelsesteori behandler udtrykket forskelligt.

Ikke-parametrisk statistik

I ikke-parametrisk statistik er en kerne en vægtfunktion, der bruges til at estimere distributioner og parametre (kernedensitetsestimering , kerneregression ) . Kerner anvendes også i tidsserieanalyse . Kerneevaluering kræver specifikation af vinduesbredden.

Definition

En ikke-negativ integrarbar funktion K med reel værdi kaldes en kerne. I de fleste tilfælde er det ønskeligt, at funktionen opfylder yderligere to krav:

Rationering:

\int _{-\infty }^{+\infty }K(u)\,du=1\,;

Symmetri:

K(-u)=K(u)\quad \forall u\,.

Hvis funktionen har den første egenskab, så vil resultatet af kernedensitetsestimatet faktisk være en sandsynlighedstæthed . Den anden egenskab sikrer, at middelværdien af fordelingen er lig med middelværdien af den anvendte prøve.

Hvis funktionen K er en kerne, så vil funktionen K *( u ) = λ K (λ u ) for λ > 0 også være en kerne. Dette resultat giver dig mulighed for at vælge en skala, der passer til de tilgængelige data.

Almindeligt brugte kernefunktioner

I praksis er flere typer kerner almindelige: ensartede, trekantede, Epanechnikovo [1] , Gaussiske og så videre.

Nedenfor er en tabel med almindeligt anvendte kerner. Hvis understøttelsen af kernen K er begrænset, så for alle værdier af u uden for understøttelsen af . $K(u)=0$

Kernefunktioner, K ( u )		$\textstyle \int u^{2}K(u)du$	$\textstyle \int K(u)^{2}du$	Effektivitet [2] med hensyn til Epanechnikov-kernen
Uniform	$K(u)={\frac {1}{2))$ Transportør: $\|u\|\leq 1$	${\frac 13}$	$\frac12$	92,9 %
trekantet	$K(u)=(1-\|u\|)$ Transportør: $\|u\|\leq 1$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {2}{3))$	98,6 %
Epanechnikovo (parabolsk)	$K(u)={\frac {3}{4}}(1-u^{2})$ Transportør: $\|u\|\leq 1$	${\frac {1}{5}}$	${\frac {3}{5))$	100 %
Bisquare	$K(u)={\frac {15}{16}}(1-u^{2})^{2}$ Transportør: $\|u\|\leq 1$	${\frac {1}{7))$	${\frac {5}{7}}$	99,4 %
Trisquare	$K(u)={\frac {35}{32}}(1-u^{2})^{3}$ Transportør: $\|u\|\leq 1$	${\frac {1}{9}}$	${\frac {350}{429}}$	98,7 %
Trikubisk	$K(u)={\frac {70}{81}}(1-{\left\|u\right\|}^{3})^{3}$ Transportør: $\|u\|\leq 1$	${\frac {35}{243}}$	${\frac {175}{247}}$	99,8 %
Gaussisk	$K(u)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}u^{2}}$	$en\,$	${\frac {1}{2{\sqrt {\pi ))))$	95,1 %
cosinus	$K(u)={\frac {\pi }{4}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}u\right)$ Transportør: $\|u\|\leq 1$	${\displaystyle 1-{\frac {8}{\pi ^{2))))$	${\frac {\pi ^{2}}{16}}$	99,9 %
Logistisk	${\displaystyle K(u)={\frac {1}{e^{u}+2+e^{-u))))$	${\frac {\pi ^{2}}{3}}$	${\frac {1}{6}}$	88,7 %
Sigmoid	${\displaystyle K(u)={\frac {2}{\pi }}{\frac {1}{e^{u}+e^{-u)))))$	${\frac {\pi ^{2}}{4}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\pi ^{2))))$	84,3 %
Silverman [3]	$K(u)={\frac {1}{2}}e^{-{\frac {\|u\|}{\sqrt {2}}}}\cdot \sin \left({\frac { \|u\|}{\sqrt {2}}}+{\frac {\pi }{4}}\right)$	$0$	${\frac {3{\sqrt {2}}}{16}}$	ikke bestemt

Grafer over nogle kerner

Se også

Estimat for atomtæthed ( densitetsestimat )
Nuklear udjævning
Stokastisk kerne

Noter

↑ Epanechnikov, VA Ikke-parametrisk estimering af en multivariat sandsynlighedstæthed // Theory Probab . Appl. : journal. - 1969. - Bd. 14 , nr. 1 . - S. 153-158 . - doi : 10.1137/1114019 .
↑ Effektivitet defineret som . ${\sqrt {\int u^{2}K(u)\,du))\int K(u)^{2}\,du$
↑ Silverman, BW Densitetsestimat for statistik og dataanalyse . - Chapman og Hall, London, 1986.

Litteratur

Li, Qi; Racine, Jeffrey S. Nonparametric Econometrics: Theory and Practice . - Princeton University Press , 2007. - ISBN 0-691-12161-3 .

Zucchini, Walter ANVENDTE GLATNINGSTEKNIKKER Del 1: Kernel Density Estimation (link ikke tilgængeligt) . Hentet 12. august 2015. Arkiveret fra originalen 5. marts 2016. (ubestemt)

Comaniciu, D; Meer, P. Mean shift: A robust approach to feature space analysis // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence : journal. - 2002. - Bd. 24 , nr. 5 . - S. 603-619 . - doi : 10.1109/34.1000236 .