Hermitisk form

Den hermitiske form er en naturlig analog til konceptet om en symmetrisk bilineær form for komplekse vektorrum. For hermitiske former er analoger af mange egenskaber ved symmetriske former sande: reduktion til kanonisk form, begrebet positiv bestemthed og Sylvesters kriterium [1] .

Definition

En hermitisk form er en sesquilineær form i to vektorer af et vektorrum over et felt med værdier i dette felt, som har symmetriegenskaben [1] : $f(x,y)$ $V$ $\mathbb {C}$

f(x,y)={\overline {f(y,x)}}\ \\forall x,y\in V.

Således er det komplette sæt af betingelser, der definerer den hermitiske form, som følger:

$f(x_{1}+x_{2},y)=f(x_{1},y)+f(x_{2},y)\ \ \forall x_{i},y\in V ,$
$f(\alpha x,y)=\alpha f(x,y)\ \ \forall x,y\in V,\ \alpha \in \mathbb {C} .$
$f(x,y_{1}+y_{2})=f(x,y_{1})+f(x,y_{2})\ \ \forall x,y_{i}\in V ,$
$f(x,\alpha y)={\overline {\alpha }}f(x,y)\ \ \forall x,y\in V,\ \alpha \in \mathbb {C} ,$
$f(x,y)={\overline {f(y,x)}}\ \\forall x,y\in V.$

Egenskaber

Af tilstanden af hermitisk symmetri følger umiddelbart det faktum, at mængden er reel . I dette tilfælde siges en (real-værdi) funktion på et komplekst vektorrum V at være kvadratisk-Hermitian . Der er også en omvendt kendsgerning, som kan formuleres som et kriterium for, at en sesquilineær form er hermitisk: $f(x,x)$ $\phi (x)=f(x,x)$

Sætning [1] . En sesquilineær form er hermitisk, hvis og kun hvis den tilknyttede funktion kun tager reelle værdier. $f(x,y)$ $\phi(x)$

Hvis tillægsbetingelsen er opfyldt

f(x,x)>0\ \ \ \forall x\neq 0

den hermitiske form f(x,y) og den andengrads-hermitiske funktion kaldes positiv bestemt . $\phi(x)$

Litteratur

Gelfand I. M. Forelæsninger om lineær algebra, Moskva: Nauka, 1971.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineær algebra og geometri, Fizmatlit, Moskva, 2009.

Noter

↑ 1 2 3 Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineær algebra og geometri. - ch. VI, § 6.3. — M.: Fizmatlit, 2009.