Hermitian operatør

I matematik kaldes en operator i et komplekst eller reelt Hilbert-rum hermitisk , symmetrisk , hvis det opfylder ligheden for alle fra definitionsdomænet . Her og nedenfor antages det, at det er skalarproduktet i . Navnet er givet til ære for den franske matematiker Charles Hermite . $EN$ $\mathfrak H$ $(Ax,y)=(x,Ay)$ $x,y$ $EN$ $(x, y)$ $\mathfrak H$

En operator i kaldes self-adjoint , eller hypermaximal Hermitian , hvis den falder sammen med dens adjoint . $\mathfrak H$

Selvadjoint-operatoren er symmetrisk; det modsatte er generelt ikke sandt. For kontinuerlige operatører defineret på hele rummet, er begreberne symmetrisk og selvadjoint sammenfaldende.

Egenskaber

1. Spektret (sættet af egenværdier ) for en selvadjoint operator er reel .

Bevis

For enhver egenværdi er per definition sand . Derfor, ved definitionen af en selvtilgrænsende transformation, er følgende udtryk ens: $\lambda$ $A\venstre( x \højre) = \lambda x$

\left( {A\left( x \right),x} \right) = \left( {\lambda x,x} \right) = \lambda \left( {x,x} \right)

\left( {x,A\left( x \right)} \right) = \left( {x,\lambda x} \right) = \overline \lambda \left( {x,x} \right)

hvorfra er et reelt tal. $\lambda = \overline \lambda$ $\lambda$

2. I unitære finit-dimensionelle rum er matrixen for en selvadjoint operatør Hermitian . (I særdeleshed i det euklidiske rum er matrixen for en selvadjoint operatør symmetrisk.)

Bevis

I et enhedsrum er det indre produkt defineret som , hvor og er vektorernes koordinatsøjler og hhv. Derfor, ved definitionen af en selvadjoint operator, er udtrykkene ens $\left( {x,y} \right) = \xi ^T \overline \eta$ $\xi$ $\eta$ $x$ $y$

\left( {A\left( x \right),y} \right) = \left( {A\xi} \right)^T \overline \eta = \xi ^TA^T \overline \eta

\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \xi ^T \overline {A\eta } = \xi ^T \overline A \overline \eta

Derfor, , som er definitionen af en hermitisk matrix. $A^T = \overline A$

3. En hermitisk matrix har altid en ortonormal basis af egenvektorer — egenvektorer svarende til forskellige egenværdier er ortogonale.

Bevis Lemma 1. Egenrummene for en selvadjoint transformation er parvis ortogonale. Bevis for Lemma 1: Der er to forskellige egenværdier og . Følgelig, for vektorer og fra deres tilsvarende egenrum, og holder . Derfor lig . Men egenværdierne for den selvtilgrænsende transformation er reelle og kan udledes af det sidste udtryk . I henhold til definitionen af en selvadjoint transformation kan vi således opnå , hvorfra, hvis egenværdierne er forskellige , er det klart, at , som skulle bevises.

\lambda

\mu

x

y

A\venstre( x \højre) = \lambda x

A\venstre( y \højre) = \mu y

\left( {A\left( x \right),y} \right) = \left( {\lambda x,y} \right) = \lambda \left( {x,y} \right)

\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \left( {x,\mu y} \right) = \overline \mu \left( {x,y} \right)

\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \mu \left( {x,y} \right)

\left( {\lambda - \mu } \right)\left( {x,y} \right) = 0

\lambda \ne \mu

\left({x,y} \right) = 0

Lemma 2. Hvis et underrum er invariant under den selvadjoint transformation , så er det ortogonale komplement af dette underrum også invariant under .

E'

EN

EN

Bevis for Lemma 2: Det er kendt, at billedet af enhver vektor, der hører til underrummet , ligger i det. Derfor, for enhver vektor , . Da transformationen er selvadjoint, følger det , at billedet af enhver vektor fra tilhører , hvilket betyder, at underrummet er invariant under transformationen A, som skulle bevises.

x

E'

y \in \left( {E'} \right)^ \bot

\left( {A\left( x \right),y} \right) = 0

EN

\left({x,A\left( y \right)} \right) = 0

y

\left( {E'} \right)^ \bot

\left( {E'} \right)^ \bot

\left( {E'} \right)^ \bot

Ejendomsbevis 3: Der er mindst én egenværdi for en operator R i et n-dimensionelt rum . Ved egenskab 1 er denne egenværdi reel. Man kan finde den tilsvarende egenvektor e 1 . Uden tab af almenhed kan vi antage, at . Hvis n=1, så er beviset komplet.

\lambda_1

|e_1| = 1

Lad os betragte E 1 - den lineære indhylning af elementet e 1 , som er et endimensionelt invariant egentligt underrum af R. Lad E n-1 være det ortogonale komplement til E 1 . Så ved Lemma 2 er E n-1 invariant under den betragtede operator. Betragt det nu som R', som kun virker i E n-1 . Så er det åbenlyst, at det vil være en selvadjoint operator givet i E n-1 , da E n-1 er invariant under R ved Lemma 2 og desuden for x, y E n : (Rx, y) = (x, Ry), inklusive for x,y Е n-1 .

\for alle

\i

\for alle

\i

Ved at anvende ovenstående ræsonnement finder vi en ny egenværdi og den tilsvarende egenvektor . Uden tab af almenhed kan vi antage, at . I dette tilfælde kan det ved et uheld falde sammen med , dog fremgår det tydeligt af konstruktionen at . Hvis n=2, så er beviset komplet. Ellers overveje E - en lineær skal og dens ortogonale komplement E n-2 . Find en ny egenværdi og den tilsvarende egenvektor , og så videre.

\lambda_2

e_2

|e_2| = 1

\lambda_2

\lambda_1

(e_1, e_2) = 0

{(e_1, e_2)}

\lambda_3

e_3

Vi udfører lignende ræsonnementer indtil udtømningen af Е n . Beviset er komplet.

4. For en hermitisk operator A er determinanten det ||A|| dens matrix er lig med produktet af egenværdierne.

Matricer

Det hermitiske konjugat til den givne matrix er den matrix , der opnås fra den oprindelige matrix ved at transponere den og overføre den til det komplekse konjugat, dvs. Dette er en naturlig definition: hvis vi skriver en lineær mapping og dens hermitiske konjugatoperator på et hvilket som helst grundlag som matricer, så vil deres matricer være hermitisk konjugat. En matrix, der er lig med dens hermitiske konjugation, kaldes hermitisk eller selvadjoint: for den . $A^{\dolk },$ $EN$ $(A^{\dolk })_{ij}=A_{ji}^{*}$ $A^{\dolk }=A$

Ansøgning

Hermitiske operatører spiller en vigtig rolle i kvantemekanikken , hvor de repræsenterer observerbare fysiske størrelser, se Heisenbergs usikkerhedsprincip .

Se også

Adjoint operatør