Ellipsoide

En ellipsoide er en overflade i tredimensionelt rum opnået ved deformation af en kugle langs tre indbyrdes vinkelrette akser. Den kanoniske ligning for ellipsoiden i kartesiske koordinater , der falder sammen med akserne for deformationen af ellipsoiden:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,

hvor er vilkårlige positive tal.

a,b,c

Størrelserne a, b, c kaldes ellipsoidens halvakser . En ellipsoide er en af de mulige former for andenordens overflader .

I det tilfælde, hvor et par halvakser har samme længde, kan ellipsoiden opnås ved at dreje ellipsen omkring en af dens akser. En sådan ellipsoide kaldes en omdrejningsellipsoide eller en sfæroide .

En ellipsoide, mere præcist end en kugle, afspejler jordens idealiserede overflade .

Parametrisk ligning for en ellipsoide

{\begin{aligned}x&=a\sin(\theta )\cos(\varphi ),\\y&=b\sin(\theta )\sin(\varphi ),\\z&=c\cos (\theta ),\end{aligned}}\,\!

hvor

0\leq \theta \leq \pi ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi .

Overfladeareal af en omdrejningsellipsoide :

S = 4 \pi b^2 \left( 1 + \frac{2}{3}e^2 + \frac{3}{5}e^4 + \frac{4}{7}e^6 + . .. + \frac{k+1}{2k+1}e^{2k} + ... \right).

I elementære funktioner :

S_{\rm oblate} = 2\pi a^2\left(1+\frac{1-e^2}{e}\mathrm{arth}\,e\right) \quad\mbox{,}\quad e^2=1-\frac{c^2}{a^2}\quad(c<a),

S_{\rm prolate} = 2\pi a^2\venstre(1+\frac{c}{ae}\sin^{-1}e\right) \quad\qquad\mbox{,}\;\quad e^2=1-\frac{a^2}{c^2}\quad(c>a),

Oblate, prolate - henholdsvis fladtrykt og aflangt.

En ellipsoide kaldes også en krop afgrænset af overfladen af en ellipsoide. Ellipsoidvolumen:

V = \frac{4}{3} \pi abc.

Prolat omdrejningsellipsoide
Oblat revolutions-ellipsoide
Oblat ellipsoide af revolution og dens generatrix
Triaksial ellipsoide med forskellige længder af halvakser

Litteratur

Bobylev D. K .,. Ellipsoid // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.
Kiselev V. Yu., Pyartli A. S., Kalugina T. F. , Højere matematik. Første semester / interaktiv computer lærebog.