Første ordens ekstrapolator

En førsteordens ekstrapolator er en matematisk model til at rekonstruere et samplet signal, som kan produceres af en konventionel digital-til-analog-konverter (som i dette tilfælde fungerer som en nul-ordens ekstrapolator ) og et analogt kredsløb ( integrator ). I dette tilfælde gendannes signalet som en stykkevis lineær tilnærmelse af det oprindeligt digitaliserede signal. Sammenlignet med en nulteordens ekstrapolator har en førsteordens ekstrapolator generelt mindre kvantiseringsstøj og rekonstruerer derfor signalet mere nøjagtigt.

Matematisk model

Lad x s ( t ) være signalet før digitalisering og x ( nT ) være signalet efter digitalisering. Så er nul-ordens ekstrapolatoren et filter , der transformerer et perfekt digitaliseret signal | $x_{s}(t)$ $=x(t)\ T\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}\delta (t-nT)\$ $=T\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x(nT)\delta (t-nT)\$

til et stykkevis lineært signal

x_{\mathrm {FOH} }(t)\,=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\mathrm {tri} \left({\frac {t- nT}{T}}\right)\

og har en impulsoverførselsfunktion

h_{\mathrm {FOH} }(t)\,={\frac {1}{T}}\mathrm {tri} \left({\frac {t}{T}}\right)={ \begin{cases}{\frac {1}{T}}\left(1-{\frac {|t|}{T}}\right)&{\mbox{if }}|t|<T\\ 0&{\mbox{ellers}}\end{cases}}\

hvor er en trekantet funktion .

\mathrm {tri} (x)\

Amplitude-fase frekvensresponsen af førsteordens ekstrapolatoren er Fourier-transformationen af dens impulsoverførselsfunktion:

$H_{\mathrm {FOH} }(f)$ $={\mathcal {F}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\$ $=\left({\frac {e^{i\pi fT}-e^{-i\pi fT}}{i2\pi fT}}\right)^{2}\$ $=\mathrm {sinc} ^{2}(fT)\$

hvor er sinc-funktionen .

{\mathrm {sinc}}(x)\

Overførselsfunktionen for den første ordens ekstrapolator opnås ved den formelle ændring s = i 2 π f :

$H_{\mathrm {FOH} }(s)$ $={\mathcal {L}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\$ $=\left({\frac {e^{sT/2}-e^{-sT/2}}{sT}}\right)^{2}\$

Første ordens ekstrapolator

Matematisk model

Se også