Lemoine sekskant

Lemoine-sekskanten [1] er en sekskant, som en cirkel kan omskrives omkring. Dens toppunkter er de seks skæringspunkter mellem siderne i en trekant med tre linjer, der er parallelle med siderne, og som går gennem dens Lemoine-punkt . I en hvilken som helst trekant er Lemoine-sekskanten inde i en trekant med tre par hjørner liggende parvis på hver side af trekanten.

I geometri er den (første) Lemoine-sekskant en sekskant, som en cirkel kan omskrives omkring. Dens toppunkter er de seks skæringspunkter mellem siderne i en trekant med tre linjer, der er parallelle med siderne, og som går gennem dens Lemoine-punkt . I en hvilken som helst trekant er Lemoine-sekskanten inde i en trekant med tre par hjørner liggende parvis på hver side af trekanten. Der er to definitioner af en sekskant, som adskiller sig afhængigt af rækkefølgen, hvori hjørnerne er forbundet.

Areal og omkreds

Lemoine-sekskanten kan defineres på to måder, først som en simpel sekskant med spidser ved skæringspunkterne, som tidligere defineret. Den anden måde er en selvskærende sekskant med linjer, der passerer gennem Lemoine-punktet som tre kanter, og tre andre kanter, der forbinder par af tilstødende hjørner. For en simpel selvadskillende sekskant bygget inde i en trekant med sidelængder og areal, er omkredsen givet ved: $a,b,c$ $\Delta$

{\displaystyle p={\frac {a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2))))

og området er angivet som:

S={\frac {a^{4}+b^{4}+c^{4}+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c ^{2}a^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}}\Delta

For en simpel selvskærende sekskant bygget inde i en trekant er omkredsen givet som:

p={\frac {\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{a^{2}+b^{2}+c^{2} }}

og området er angivet som:

S={\frac {a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{\left(a^{2} }+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}}\Delta

Den omskrevne cirkel af Lemoine-sekskanten

I geometri definerer fem punkter en kegle, således at vilkårlige sæt af seks punkter generelt ikke ligger på en kegle, endsige en cirkel. Imidlertid er Lemoine-sekskanten (enten med forbindelsesrækkefølge) en indskrevet sekskant, hvilket betyder, at alle dens hjørner ligger på den samme cirkel. Cirklen af Lemoine sekskanten er kendt som "den første cirkel af Lemoine" .

Lemoines anden sekskant

Den anden Lemoine-sekskant [2] er en sekskant, som en cirkel kan omskrives omkring. Dens toppunkter er de seks skæringspunkter for siderne i en trekant med tre linjer, der er antiparallelle med siderne, og som går gennem dens Lemoine-punkt.

Noter

↑ Zetel S.I. Ny trekantgeometri. En guide til lærere. 2. udgave .. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 109-110, s. 95-96, teoremer, følge.
↑ Zetel S.I. Ny trekantgeometri. En guide til lærere. 2. udgave .. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 111, s. 98, sætning.

Links

Casey, John (1888), Lemoine's, Tucker's og Taylor's Circles , En efterfølger til de første seks bøger om Euklids elementer, der indeholder en nem introduktion til moderne geometri med talrige eksempler (5. udgave), Dublin: Hodges, Figgis, & Co., s. 179ff , < https://books.google.com/books?id=i87Ikm2u_6sC&pg=PA179 > .
Lemoine, E. (1874), Sur quelques propriétés d'un point remarquable d'un triangle , Association francaise pour l'avancement des sciences, Congrès (002; 1873; Lyon) , s. 90–95 , < http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k201149r/f128.image > .
Mackay, JS (1895), Symmedianer of a triangle and their concomitant circles , Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society bind 14: 37–103 , DOI 10.1017/S0013091500031758 .

Eksterne links

Weisstein, Eric W. Lemoine Hexagon (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .