Delvist fodaftryk

I lineær algebra generaliserer det partielle spor forestillingen om sporet af en matrix . Sporet af en lineær operator er en skalar , mens det delvise spor i sig selv er en lineær operator . Det delvise spor anvendes i kvantecomputervidenskab og dekohærensteori .

Definition

For ethvert mellemrum skal du angive mellemrummet for lineære operatorer på det som . Lad , være endelig -dimensionelle vektorrum over et felt med dimensioner og hhv. Lad baserne i V og W være henholdsvis og . $EN$ $EN$ $L(A)$ $V$ $W$ $m$ $n$ ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m))$ ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n))$

Delvis spor for rum , denne kortlægning er givet af relationen $\operatorname {Tr} _{W}$ $W$ $\{a_{k\ell ,ij}\}=A\i \operatørnavn {L} (V\otimes W)\mapsto \{b_{k,i}\}=\operatørnavn {Tr} _{ W}(A)\i \operatørnavn {L} (V)$ $b_{k,i}=\sum _{j=1}^{n}a_{kj,ij}.$

Den lineære operator defineret på denne måde afhænger ikke af valget af basis , og . ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m))$ ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n))$

Delvis sporing som en kvanteoperation

Lad os overveje to-partikeltilstande. Rene tilstandsvektorer tilhører henholdsvis Hilbert-rummet , og tæthedsmatricerne . Overvej tæthedsmatricen . $H_{A}\otimes H_{B}$ $H_{A}\otimes H_{B}\otimes H_{A}^{*}\otimes H_{B}^{*}$ $\rho _{AB}\in H_{A}\otimes H_{B}\otimes H_{A}^{*}\otimes H_{B}^{*}$

${\displaystyle \{{\left|{i}\right\rangle }_{A}\))$ og er baserne for rummene og hhv. $\{{\left|{i}\right\rangle }_{B}\}$ $H_{A}$ $H_{B}$

Derefter beskrives delsystemet af tæthedsmatricen $EN$ $\rho _{A}=\operatørnavn {Tr} _{B}(\rho _{AB})=\sum _{{\left|{i}\right\rangle }_{B}}{ {\left\langle {i}\right|}_{B}\rho _{AB}{\left|{i}\right\rangle }_{B))$

Litteratur

D. A. Kronberg, Yu. I. Ozhigov, A. Yu. Chernyavsky (2012). "Det algebraiske apparat for kvantecomputervidenskab" .