Naturen af den biquadratiske rest

Karakteren af den biquadratiske rest er en talteoretisk funktion af to argumenter, som er et specialtilfælde af potensrestsymbolet . Er også en karakter i et simpelt felt .

Karakteren af den biquadratiske rest er analog med Legendre-symbolet , og den biquadratiske reciprocitetslov , som er analog med den kvadratiske reciprocitetslov , bruges til at beregne den .

Definition

Overvej D=Z[i] — ringen af Gaussiske heltal , det vil sige tal på formen , hvor a og b er heltal . $\alpha =a+b\,i$

Lad være en prime i ringen D , med norm . Naturen af den biquadratiske rest er defineret som følger: $\pi$ $N\pi$

$\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}=0$ , hvis deleligt med . $\alfa$ $\pi$
$\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}=1$ , hvis ikke deleligt med og . $\alfa$ $\pi$ $N\pi =2$
I alle andre tilfælde er en af værdierne i restklassen (en sådan værdi er entydigt bestemt). $\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}$ ${\displaystyle \{1,\ -1,\ i,\ -i\))$ $\alpha ^{(N\pi -1)/4}\mod \pi$

Biquadratic lov om gensidighed

Vi kalder , som ikke er en enhed, primær hvis den kan sammenlignes med 1 modulo for det ideelle . Samtidig er en ikke-enhed primær, hvis og kun hvis , eller , . $\alfa$ $((1+i)^{3})$ $\alpha =a+b\,i$ $a\equiv 1{\pmod {4}}$ $b\equiv 0{\pmod {4}}$ $a\equiv 3{\pmod {4}}$ $b\equiv 2{\pmod {4}}$

Lad og være coprime primære elementer i D , så $\pi$ $\theta$

$\left({\frac {\pi }{\theta }}\right)_{4}=\left({\frac {\theta }{\pi }}\right)_{4}(- 1)^{{\frac {N\pi -1}{4}}{\frac {N\theta -1}{4}}}$

Andre egenskaber ved karakteren af den biquadratiske rest

$\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}=1$ hvis og kun hvis sammenligningen er opløselig, dvs. hvis og kun hvis - biquadratisk rest $x^{4}\equiv \alpha \mod {\pi }$ $\alfa$
Multiplikativitet : $\left({\frac {\alpha \beta }{\pi }}\right)_{4}=\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4} \cdot \left({\frac {\beta }{\pi }}\right)_{4}$
Periodicitet : hvis , så $\alpha \equiv \beta \mod {\pi }$ $\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}=\left({\frac {\beta }{\pi }}\right)_{4}$
Hvis er en simpel primær, så $\pi =a+bi$ $\left({\frac {-1}{\pi }}\right)_{4}=(-1)^{\frac {a-1}{2}}$

Referencer

Ireland K., Rosen M. En klassisk introduktion til moderne talteori . - Moskva: Mir, 1987.

Franz Lemmermeyer. Gensidighedslove: Fra Euler til Eisenstein. - Springer Verlag, 2000. - ISBN 3-540-66957-4 .

Karakterer i talteori og i gruppeteori
Kvadratiske tegn	Symbol for Legendre Jacobi symbol Kronecker symbol - Jacobi
Karakterer af kraftrester	Arten af den kubiske rest Naturen af den biquadratiske rest Symbol for strømrester

Naturen af ​​den biquadratiske rest

Definition

Biquadratic lov om gensidighed

Andre egenskaber ved karakteren af ​​den biquadratiske rest

Referencer

Naturen af den biquadratiske rest

Andre egenskaber ved karakteren af den biquadratiske rest