Leibniz formel (derivat af et produkt)

Leibniz-formlen for den -. afledede af et produkt af to funktioner er en generalisering af reglen for differentiering af et produkt ( og et forhold) af to funktioner til tilfældet med -foldsdifferentiering. $n$ $n$

Lad funktionerne og være gange differentierbare funktioner, så $f(z)$ $g(z)$ $n$

\left(f\cdot g\right)^{{(n)}}=\sum \limits _{{k=0}}^{{n}}{C_{n}^{k}f^{{ (nk)}}g^{{(k)}}},

hvor er binomiale koefficienter .

C_{n}^{k}={n \choose k}={{n!} \over {k!\;(nk)!}}

Eksempler

Når , den velkendte regel for derivatet af et produkt opnås: $n=1$

(f\cdot g)'={f'g}+{fg'}.

I tilfældet har vi for eksempel: $n=2$

(f\cdot g)''=\sum \limits _{{k=0}}^{{2}}{C_{2}^{k}f^{{(2-k)}}g^{ {(k)}}}={f''g}+{2f'g'}+{fg''}.

I tilfældet har vi for eksempel: $n=3$

(f\cdot g)'''=\sum \limits _{k=0}^{3}{C_{3}^{k}f^{(3-k)}g^{(k )}}={f'''g}+{3f''g'}+{3f'g''}+{fg'''}.

I tilfældet har vi for eksempel: $n=4$

(f\cdot g)^{(4)}=\sum \limits _{k=0}^{4}{C_{4}^{k}f^{(4-k)}g^ {(k)}}={f^{(4)}g}+{4f^{(3)}g^{(1)}}+{6f^{(2)}g^{(2)} }+{4f^{(1)}g^{(3)}}+{fg^{(4)}}.

Bevis og generalisering

Beviset for formlen udføres ved induktion ved hjælp af produktreglen . I en multiindeksnotation kan formlen skrives i en mere generel form:

\partial ^{\alpha }(fg)=\sum _({\{\beta \,:\,\beta \leq \alpha \}}}{\alpha \choose \beta }(\partial ^{{\ alpha -\beta }}f)(\partial ^{{\beta }}g).

Denne formel kan bruges til at få et udtryk for sammensætningen af differentialoperatorer. Faktisk, lad P og Q være differentiale operatorer (med koefficienter, der er differentiable et tilstrækkeligt antal gange) og . Hvis R også er en differentialoperator, så gælder ligheden: $R=P\circ Q$

R(x,\xi )=e^{{-{\langle x,\xi \rangle }}}R(e^{{\langle x,\xi \rangle }}).

Direkte beregning giver:

R(x,\xi )=\sum _{\alpha }{1 \over \alpha !}\left({\partial \over \partial \xi}\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi ).

Denne formel er også kendt som Leibniz-formlen .

Litteratur

Shipachev V.S. Fundamentals of Higher Mathematics: Lærebog for gymnasier / Ed. acad. A. N. Tikhonova. - M . : Højere skole, 1989 . — 479 s. - ISBN 5-06-000048-6 .
Zorich V. A. Matematisk analyse. Del 1. - 2-e. - M .: FAZIS, 1997 . — 554 s. — ISBN 5-7036-0031-6 .