Becker-Döring ligninger

Becker -Döring-ligningerne er ligninger, der modellerer dynamikken i koagulation og fragmentering af klynger af identiske partikler, udviklet i 1935 af de tyske videnskabsmænd Becker og Döring [ 1] . De er skrevet under antagelsen om en molekylær mekanisme til at ændre aggregeringstallet (det vil sige antallet af molekyler i kernen) og beskriver udviklingen af koncentrationerne af kerner over tid. Især Becker-Döring-ligningerne er meget brugt til at beskrive kinetikken af micellære systemer . $n$ ${c_{n))$

Molekylær mekanisme

Vi begrænser os til at overveje et ikke-ionisk en-komponent overfladeaktivt stof . Ved at betegne gennem en kerne bestående af overfladeaktive molekyler kan vi overveje følgende mekanisme for direkte og omvendte overgange: ${\displaystyle \{n\))$ $n$

$\{n\}+\{1\}{\overset {b_{n+1}}{\underset {{a_{n}}{c_{1}}}{\leftrightarrows }}}\{ n+1\}\quad n=1,2,...,$

hvor er antallet af overfladeaktive monomerer absorberet af aggregatet pr. tidsenhed (værdierne kan kaldes tilsætningshastighederne af monomerer), er antallet af overfladeaktive monomerer, der udsendes af aggregatet i opløsning pr. tidsenhed. ${a_{n}}{c_{1}}$ ${\displaystyle \{n\))$ ${a_{n))$ ${b_{n+1))$ ${\displaystyle \{n+1\))$

Ligninger

Becker-Döring-ligningerne for koncentrationen af kerner har formen:

${\begin{array}{l}{\frac {\partial {c_{n))}{\partial t))=-\venstre({{J_{n))-{J_{n-1 ))}\right)\quad n=2,3,...,\\{\frac {\partial {c_{1}}}{\partial t}}=-{J_{1}}-\sum \limits _{k=1}^{\infty }{J_{k)),\end{array))$

hvor er strømninger langs aggregeringsnummeraksen: ${J_{n))$

${J_{n}}={a_{n}}{c_{1}}{c_{n}}-{b_{n+1}}{c_{n+1}}.$

Se også

Kinetisk Boltzmann-ligning

Litteratur

Slemrod M. (2000) Becker-Döring-ligningerne. I: Bellomo N., Pulvirenti M. (red) Modeling in Applied Sciences. Modellering og simulering i naturvidenskab, teknik og teknologi. Birkhauser, Boston, MA.
Ball, JM, Carr, J. & Penrose, O. Commun.Math. Phys. (1986) 104: 657. https://doi.org/10.1007/BF01211070 .
Asymptotisk adfærd af løsninger til Becker-Döring-ligningerne for vilkårlige initialdata. Ball, JMCarr, J. // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Section A Mathematics 1988.

Noter

↑ Dugald B. Duncana, Ali R. Soheili. = Approksimation af Becker–Döring klyngeligningerne // Anvendt numerisk matematik. - 2001. - T. 37 , nr. 1-2 .