Ligning af tre momenter

Ligningen for tre momenter er en ligning til beregning af momenter i problemet med at bøje en kontinuerlig flerspændsbjælke [ 1] .

Det er kendt, at en bjælke i nærværelse af yderligere understøtninger bliver statisk ubestemt . En af metoderne til at beregne sådanne bjælker er kraftmetoden . Ved hjælp af denne metode udledes ligningen for tre momenter [2] :

M_{i-1}l_{i}+2M_{i}(l_{i}+l_{i+1})+M_{i+1}l_{i+1}=-6\venstre( {\frac {\Omega _{i}a_{i}}{l_{i}}}+{\frac {\Omega _{i+1}b_{i+1}}{l_{i+1}} }\ret).

Her er arealet af diagrammet over momenter af den i -te statisk bestemmelige stråle, er afstanden fra tyngdepunktet af det i -te diagram til venstre ende af strålen, er afstanden fra tyngdepunktet af det i -te diagram til højre ende af bjælken, er længden af den i - te bjælke. ${\displaystyle \Omega _{i))$ $a_{i}$ $b_{i}$ ${\displaystyle l_{i}=a_{i}+b_{i))$

Udledningen af ligningen af tre momenter sørger for, at efter indføringen af hængsler over understøtningerne opnås et statisk bestemt system af bjælker, som hver er en simpel bjælke med understøtninger i enderne. Kræfter, der er ukendte i metoden, er momenter, der påføres ved enderne af uafhængige bjælker. $n$

Historie

For første gang blev ligningen for beregning af gennemgående bjælker anvendt af brobyggeren og jernbaneingeniøren Bertot i 1855 [3] . Selve metoden blev brugt tidligere (1849) ved rekonstruktionen af broen over Seinen i Asnières (en forstad til Paris , nu kendt som Asnières-sur-Seine , fr. Asnières-sur-Seine ), men blev udgivet af Clapeyron i Videnskabsakademiets sager først i 1857. Så da ideen om et grundlæggende system med ukendte momenter over støtter først blev udtrykt af Clapeyron, er ligningen på tre øjeblikke forbundet med hans navn [4] . Teorien om kontinuerlige bjælker blev videreudviklet i Otto Mohrs værker , som generaliserede teorien til det tilfælde, hvor understøtningerne er placeret i forskellige højder (1860).

Ansøgningsprocedure

Fremgangsmåden til at løse problemet ved hjælp af ligningen af tre momenter er som følger.

1 . Bjælken skæres i separate dele (enkle bjælker) af yderligere indvendige hængsler ved fastgørelsespunkterne for understøtningerne.

Betegnelser for reaktionerne af de dannede bindinger: - momenter . ${\displaystyle M_{0},M_{1},...,M_{n))$

2 . Spændene (sektioner af bjælken mellem understøtningerne) er nummererede. Antallet af flyvninger er . Den venstre konsol betragtes som et nulspænd, den højre har nummeret . Spændvidde: , . $n$ $n+1$ $l_{i}$ $i=0,...,n+1$

3 . Fra udkragningsdelenes ligevægtstilstand bestemmes momenterne og . De resterende momenter er ukendte for ligningssystemet med tre momenter. $M_{0}$ $M_{n}$ $n-1$

4 . Diagrammer af momenter og forskydningskræfter i spændvidder og konsoller (hvis nogen) af bjælkerne er bygget ud fra påvirkningen af ekstern belastning. Hvert spænd er en separat statisk defineret stråle. $M_{p}$ $Q_p$

5 . Arealerne af diagrammer over momenter , i spændvidder og afstandene fra disse områders tyngdepunkter til venstre ( ) og højre ( ) understøtninger af det tilsvarende spænd beregnes. ${\displaystyle \Omega _{i))$ $i=1,...,n$ $a_{i}$ $b_{i}$

6 . Løsningen af ligningssystemet med tre momenter tilføjes til diagrammerne af momenterne fra den eksterne belastning. Det resulterende diagram er diagrammet over momenter i en kontinuerlig stråle.

Eksempel

Konstruer et plot af momenter i en sammenhængende bjælke 19 meter lang med fire understøtninger (fig. 1). En fordelt last kN/m, kN/m og en koncentreret kraft kN virker på bjælken. $q_{1}=10$ $q_{2}=12$ $P=9$

Ris. en

Cantileverlængde: m. Spændvidde: m. Vi opnår kraftmetodens hovedsystem ved at indføre hængsler over understøtningerne (fig. 2). Momenterne og er kendte størrelser og bestemmes ud fra konsollernes ligevægtstilstand. Der er ingen rigtig konsol her, . Til venstre konsol får vi . $l_{0}=4$ $l_{1}=l_{2}=l_{3}=5$ $M_{0}$ $M_{3}$ $M_{3}=0$ $M_{0}=q_{1}l_{0}^{2}/2$

Ris. 2

Vi bygger diagrammer af momenter fra en ekstern belastning i uafhængige bjælker af hovedsystemet (statisk bestemte) (fig. 3). Vi bygger diagrammer på komprimeret fiber (som det er sædvanligt inden for maskinteknik; inden for konstruktion og arkitektur, diagrammermomenter er normalt bygget på en strakt fiber).

Ris. 3

Vi nedskriver ligningerne for tre momenter:

$l_{1}M_{0}+2M_{1}(l_{1}+l_{2})+M_{2}l_{2}=-6(\Omega _{1}a_{1} /l_{1}+\Omega _{2}b_{2}/l_{2}),$

$l_{2}M_{1}+2M_{2}(l_{2}+l_{3})+M_{3}l_{3}=-6(\Omega _{2}a_{2} /l_{2}+\Omega _{3}b_{3}/l_{3}).$

Her løser vi ligningssystemet kNm, kNm. Vi bygger et diagram ud fra disse øjeblikke (fig. 4). $\Omega _{1}=10.8\cdot 5/2=27,$ $a_{1}=(2+5)/3=2.333,$ $\Omega _{2}=\Omega _{3}=2fl_{2}/3=125,$ $a_{2}=b_{2}=a_{3}=b_{3}=2.5.$ $M_{1}=7.301$ $M_{2}=-39.325$

Ris. fire

Vi tilføjer (efter punkter) diagrammer fra belastningen (fig. 3) og fra momenterne (fig. 4). Vi får diagrammet over momenterne i strålen (fig. 5).

Ris. 5

En indlysende fordel ved metoden er enkelheden af matrixen af systemet af lineære ligninger af problemet. Denne matrix er tridiagonal , hvilket gør det muligt at anvende forskellige forenklede numeriske løsningsskemaer.

Noter

↑ Kirsanov M. N. . Ahorn og Ahorn. Løsninger af problemer med mekanik. - Sankt Petersborg. : Lan, 2012. - 512 s. — ISBN 978-5-8114-1271-6 . - S. 179-181.
↑ Feodosiev V.I. Materialernes styrke. - M. : Statens forlag for fysisk og matematisk litteratur, 1960. - 536 s. - S. 217.
↑ Bernstein S.A. Essays om strukturel mekaniks historie. - M . : Statens forlag for litteratur om byggeri og arkitektur, 1957. - 236 s. - S. 209.
↑ Timoshenko S. P. . Historien om videnskaben om styrken af materialer. 2. udg. - M. : URSS, 2006. - 536 s. — ISBN 5-484-00449-7 . - S. 176.

Litteratur

Kiselev V. A. . Strukturel mekanik. Generelt kursus. - M . : Stroyizdat, 1986. - 520 s.
Gorshkov A. G., Troshin V. N., Shalashilin V. I. . Materialernes styrke. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 544 s. — ISBN 5-9221-0181-1 .