Friedmans ligning

Friedmann-ligningen er en ligning i kosmologi , der beskriver udviklingen af et homogent og isotropisk univers ( Friedmann-universet ) i tid inden for rammerne af den generelle relativitetsteori . Opkaldt efter Alexander Alexandrovich Fridman , som først udledte denne ligning i 1922 [1] .

Friedmanns ligning

Friedman-ligningen er skrevet for Friedmann-metrikken, som er en synkron metrik for et homogent isotropisk rum (et rum med konstant krumning) [2] ,

ds^{2}=c^{2}dt^{2}-a(t)^{2}dl^{2}\,,

hvor er længdeelementet i rummet med konstant krumning, er universets skala ("størrelse"). $dl^{2}$ $på)$

Rum med konstant krumning kan være af tre typer - kugle (lukket), pseudosfære (åben) og fladt rum.

Sfæriske koordinater

Lukket (endeligt) univers med positiv rumkrumning

For et lukket univers er Friedmann-metrikken

ds^{{2}}=a(\eta )^{{2}}\left(d\eta ^{{2}}-d\chi ^{{2}}-\sin ^{{2}} \chi (d\theta ^{{2}}+\sin ^{{2}}\theta d\phi ^{{2}})\right)\,,

hvor er den fotometriske afstand , ; - sfæriske vinkler; — skaleret tid ,. $r=a\cdot\sin\chi$ $\chi \i [0,\pi ]$ $\theta ,\,\phi$ $\eta$ $ad\eta=dt$

Komponenterne i Ricci-tensoren for denne metriske er

R_{{\chi }}^{{\chi }}=R_{{\theta }}^({\theta }}=R_{{\phi }}^{{\phi }}=-{\frac { 1}{a^{{4}}}}(2a^{{2}}+a'^{{2}}+aa'')\;,

R_{{\eta }}^{{\eta }}={\frac {3}{a^{{4}}}}(a'^{{2}}-aa'')\;,

R=-{\frac {6}{a^{{3}}}}(a+a'')\;,

hvor prim betyder differentiering mhp . $\eta$

For en ideel væske er energi-momentum-tensoren

T_{ab}=(\epsilon +p)u_{a}u_{b}-pg_{ab}\,,

hvor er energitætheden, er trykket. I synkrone koordinater er stof i ro, så 4-hastigheden er . $\epsilon$ $s$ $u^{a}=\{{\frac {1}{a(t)}},0,0,0\}$

Tidskomponenten af Einstein-ligningen ,

R_{{\eta }}^{{\eta }}-{\frac {1}{2}}R=\kappa {}T_{{\eta }}^{{\eta }}\,,

med den specificerede Ricci-tensor og energimomentum-tensor og er Friedmann-ligningen ,

{\frac {3}{a^{{4}}}}(a^{{2}}+a'^{{2}})=\kappa \epsilon \,.

Hvis forholdet mellem energitætheden og trykket (tilstandsligningen) er kendt, så kan energitæthedens afhængighed af universets skala findes ved hjælp af energibevarelsesligningen $\epsilon$ $s$ $-en$

d\epsilon =-(\epsilon +p){\frac {3da}{a}}\,.

I dette tilfælde kan løsningen af Friedmann-ligningen udtrykkes som et integral,

\eta =\pm \int {\frac {da}{a{\sqrt {{\frac {1}{3}}\kappa \epsilon a^{2}-1))))\,.

Et åbent (uendeligt) univers med negativ rumkrumning

For et åbent univers er Friedmann-metrikken

ds^{{2}}=a(\eta )^{{2}}\left(d\eta ^{{2}}-d\chi ^{{2}}-\sinh ^{{2}} \chi (d\theta ^{{2}}+\sin ^{{2}}\theta d\phi ^{{2}})\right)\,,

hvor , ; - sfæriske vinkler; — skaleret tid ,. $r=a\cdot\sinh\chi$ $\chi \i [0,\infty ]$ $\theta ,\,\phi$ $\eta$ $ad\eta=dt$

Det er klart, at denne metrik opnås fra den lukkede univers-metrik ved substitution . $\{a,\eta ,\chi \}\til \{ia,i\eta ,i\chi \}$

Følgelig er Friedmann-ligningen for et åbent univers

{\frac {3}{a^{{4}}}}(-a^{{2}}+a'^{{2}})=\kappa \epsilon \,.

Åbent (uendeligt) og fladt univers

For et fladt univers er Friedmann-metrikken

ds^{{2}}=a(\eta )^{{2}}\left(d\eta ^{{2}}-d\chi ^{{2}}-\chi ^{{2}} (d\theta ^{{2}}+\sin ^{{2}}\theta d\phi ^{{2}})\right)\,,

hvor , ; - sfæriske vinkler; — skaleret tid ,. $r=a\chi$ $\chi \i [0,\infty ]$ $\theta ,\,\phi$ $\eta$ $ad\eta=dt$

Naturligvis er denne metrik formelt opnået fra den lukkede univers-metrik i grænsen . $r\ll a\til \infty$

Bemærk , at hvor Friedmann-ligningen for et fladt univers opnås i den angivne grænse som $a'/a^{2}={\dot a}/a$ ${\dot a}\equiv da/dt$

3{\frac {{{\dot a}}^{2}}{a^{{2}}}}=\kappa \epsilon \,.

Reducerede radiale koordinater

I disse koordinater er metrikken for et rum med konstant krumning

dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}d\Omega ^{2},

hvor er sfæriske vinkelkoordinater; $\theta ,\phi$

r

- reduceret radial koordinat, defineret som følger: omkredsen af radius med centrum ved origo er lig med

r

2\pi r;

k

er en konstant, der tager værdien 0 for et fladt rum, +1 for et rum med konstant positiv krumning, −1 for et mellemrum med konstant negativ krumning;

d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}.

Løsninger til Friedmann-ligningen

Friedmanns ligning kan integreres analytisk for to vigtige grænsetilfælde, et univers fyldt med støv og et univers fyldt med stråling.

Noter

↑ Friedman , A. Über die Krümmung des Raumes (tysk) // Zeitschrift für Physik : magazin. - 1922. - Bd. 10 , nej. 1 . - S. 377-386 . - doi : 10.1007/BF01332580 . - . (Engelsk oversættelse: Friedman, A. On the Curvature of Space (engelsk) // General Relativity and Gravitation : journal. - 1999. - Vol. 31 , nr. 12. - P. 1991-2000 . - doi : 10.1023 / A : 1026751225741. - . ). Det originale russiske manuskript af dette papir er bevaret i Ehrenfest-arkivet Arkiveret 29. juli 2020 på Wayback Machine .
↑ Gerard 't Hooft, Introduction to General Relativity , ISBN 978-1589490000 , ISBN 1589490002

Links

Liebscher, Dierck-Ekkehard. Udvidelse // Kosmologi. - Berlin : Springer, 2005. - S. 53-77. — ISBN 3-540-23261-3 .

Kosmologi
Grundlæggende begreber og objekter	Univers observerbart univers Rødforskydning kosmologisk CMB stråling Gravitationsbølger Univers ekspansion accelereret skjult masse Mørkt stof mørk energi
Universets historie	Stort brag stor rebound Kronologi af Big Bang Inflation Primær nukleosyntese Rekombination Udvikling af galakser Universets alder Universets fremtid
Universets struktur	Universets struktur i stor skala Superhob af galakser Stor gruppe af kvasarer Galaktisk tråd Ugyldig Hubble boble Universets form
Teoretiske begreber	Historien om udviklingen af ideer om universet Hubble lov Gravitationel ustabilitet Kosmologisk princip Kosmologiske modeller Kosmologisk singularitet De Sitter model hot univers model Friedman-universet Ledsager afstand Kritisk tæthed Friedmans ligning Kosmologisk tilstandsligning Lambda-CDM model
Eksperimenter	Observationel kosmologi 2dF 6dF BOOMERANG COBE SDSS WMAP Planck DES
Portal: Astronomi