Fishers ligning (matematik)

Fishers ligning ( også kendt som Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov- ligningen , KPP - ligningen eller Fisher-KPP-ligningen ) er en ikke- lineær andenordens partiel differentialligning :

{\frac {\partial w}{\partial t))={\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2))}+aw(1-w).

Historie

Ligningen er opkaldt efter statistikeren og biologen Ronald Aylmer Fisher , som foreslog den i 1937 i sammenhæng med befolkningsdynamikken for at beskrive den rumlige fordeling af fordelagtige alleler og fandt dens vandrende bølgeløsning . [en]

Ansøgning

Fishers ligning findes i problemer med varme- og masseoverførsel, forbrændingsteori , biologi og økologi , i plasmafysik og problemer i teorien om faseovergange . Den beskriver for eksempel masseoverførsel i en to-komponent immobil blanding i nærvær af en volumetrisk kvasi-førsteordens kemisk reaktion. Den kinetiske funktion modellerer også den autokatalytiske kædetransformation i forbrændingsteori. [2] $f(w)=aw(1-w)$

Beslutninger

For bølgehastigheden indrømmer ligningen løsninger i form af en vandrende bølge , og . Formen på løsningerne er unik for hver bølgelængde. Der er ingen sådanne løsninger. [en] $c\geq 2{\sqrt {a}}$ $w(x,t)=w(x\pmct)=w(z)$ $\lim _{z\rightarrow -\infty }=0,\lim _{z\rightarrow +\infty }=1$ $c<2{\sqrt {a))$

I tilfælde af hastighed kan følgende nøjagtige løsninger opnås: ${\displaystyle c=\pm {\frac {5}{\sqrt {6))))$

w(z)=\venstre[\pm 1+C\exp(\mp {\frac {z}{\sqrt {6}}})\right]^{-2},

w(z)={\frac {1+2C\exp(\mp {\frac {z}{\sqrt {6))})}{\venstre[1+C\exp(\mp {\ frac {z}{\sqrt {6}}}})\right]^{2}}},

hvor er en vilkårlig konstant. [2] $C$

Noter

↑ 1 2 R. A. Fisher. Bølgen af fremrykning af fordelagtige gener Arkiveret 15. december 2018 på Wayback Machine , Ann. Eugenics 7 :353-369, 1937
↑ 1 2 * Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Håndbog i ikke-lineære ligninger i matematisk fysik. - M. : FIZMATLIT, 2002. - S. 11. - 432 s.