Pauli ligning

Pauli -ligningen er en ligning af ikke-relativistisk kvantemekanik , der beskriver bevægelsen af en ladet partikel med spin 1/2 (for eksempel en elektron ) i et eksternt elektromagnetisk felt . Foreslået af Pauli i 1927 . Ikke at forveksle med den grundlæggende kinetiske ligning , også nogle gange kaldet Pauli-ligningen.

Pauli-ligningen er en generalisering af Schrödinger-ligningen , som tager højde for tilstedeværelsen af en partikels egen mekaniske vinkelmomentum - spin. En partikel med spin 1/2 kan være i to forskellige spin-tilstande med spinprojektioner +1/2 og −1/2 på en eller anden (vilkårligt valgt) retning, normalt taget som z -aksen . I overensstemmelse hermed er bølgefunktionen af en partikel (hvor r er partiklens koordinat , t er tiden ) to-komponent: $\psi (r,t)$

\psi (r,t)={\begin{pmatrix}\psi _{1}(r,t)\\\psi _{2}(r,t)\end{pmatrix}}.

Når koordinatakserne roteres og transformeres som spinorkomponenter . I rummet af spinor bølge funktioner, det skalære produkt og har form $\psi_{1}$ $\psi_{2}$ $\psi$ $\psi'$

(\psi ',\psi )=\int (\psi '_{1}\psi _{1}+\psi '_{2}\psi _{2})dr,

Operatørerne af fysiske størrelser er 2x2-matricer, som for mængder (observerbare) uafhængige af spin er multipla af identitetsmatrixen.

I kraft af elektrodynamikkens generelle love har et elektrisk ladet system med et spinmoment ikke-nul også et magnetisk moment proportionalt med : (g er det gyromagnetiske forhold ). For orbitalmomentet , hvor e er ladningen, er m partiklens masse; det spin gyromagnetiske forhold viser sig at være dobbelt så stort: . I et eksternt magnetisk styrkefelt har det magnetiske moment en potentiel energi , hvis tilføjelse til Hamiltonian H af en elektron i et eksternt elektron-magnetisk felt med potentialer og A fører til Pauli-ligningen: ${\vec {s}}$ ${\vec {s}}$ ${\vec {\mu }}=g{\vec {s}}$ $g={e\over 2mc}$ $g={e\over mc}$ ${\vec {B}}$ $U=-{\vec {\mu }}\ {\vec {B}}$ $\phi$

i\hbar {\partial \psi \over \partial t}={{\hat {\mathcal {H))}\psi \ }=\venstre[{1 \over 2m}({\hat {p }}-{e \over c}A{\hat {I}})^{2}+e\varphi {\hat {I}}-{{e\hbar } \over 2mc}({\hat {\ sigma )){\vec {B)))\right]\psi

hvor er momentumoperatoren, er enhedsoperatoren og er proportional med spinoperatoren :. ${\hat p}$ ${\hat jeg}$ ${\hat \sigma }$ ${\hat s}={\hbar \over 2}{\hat \sigma }$

Pauli-ligningen, der oprindeligt blev foreslået på basis af heuristiske overvejelser, viste sig at være en naturlig konsekvens af den relativistisk invariante Dirac-ligning i den svagt relativistiske tilnærmelse, hvor kun de første led af udvidelsen i gensidige potenser af lyshastigheden er taget. i betragtning. Hvis styrken af det ydre magnetfelt ikke afhænger af de rumlige koordinater, sker partiklens orbitale bevægelse og ændringen i orienteringen af dens spin uafhængigt. I dette tilfælde har bølgefunktionen formen , hvor er en skalarfunktion, der adlyder Schrödinger-ligningen, og spinoren opfylder ligningen $\psi (r,t)=\Phi (r,t)\chi (t)$ $\Phi (r,t)$ $\chi ={\begin{pmatrix}\chi _{1}\\\chi _{2}\end{pmatrix}}$

i\hbar {\partial \chi \over \partial t}=-{{e\hbar } \over 2mc}(\sigma {\vec {B)))\chi .

Det følger af denne ligning, at gennemsnitsværdien af spin præcesserer rundt om retningen af magnetfeltet: $\langle s\rangle =~{\hbar \over 2}(\chi +\sigma \chi)$

{\frac {d}{dt}}\langle s\rangle =-\omega _{B}[{\vec {n}}\langle s\rangle ].

Her er cyklotronfrekvensen og er enhedsvektoren langs magnetfeltet. Ud fra Pauli-ligningen kan opsplitning af elektronniveauer i et atom i et eksternt magnetfelt beregnes under hensyntagen til spindet ( Zeeman-effekten ). Finere relativistiske virkninger i atomer på grund af elektronspin kan dog kun beskrives ved at tage højde for de højere udtryk for udvidelsen af den relativistiske Dirac-ligning i gensidige potenser af lysets hastighed. $\omega _{B}={eB \over mc}$ ${\vec {n}}$

Litteratur

Blokhintsev D. I. Grundlæggende om kvantemekanik. - 5. udg. - M .: Nauka, 1976. - 664 s., afsnit 62.
Davydov A. S. Kvantemekanik. - 2. udg. - M .: Nauka, 1973. - 704 s., afsnit 63.
Pauli V. Generelle principper for bølgemekanik. - M.-L.: OGIZ, 1947. - 332 s.
Berestetsky V. B. , Lifshits E. M. , Pitaevsky L. P. Kvanteelektrodynamik. - 4. udgave, revideret. — M .: Fizmatlit , 2002. — 720 s. - (" Teoretisk fysik ", bind IV). — ISBN 5-9221-0058-0 .
Physical Encyclopedia / Kap. udg. A. M. Prokhorov. Ed. tælle D. M. Alekseev, A. M. Baldin, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovik-Romanov et al. - M.: Great Russian Encyclopedia, 1992. - V. 3. Magnetoplasmic - Poynting-sætning. — 672 s.

Pauli ligning

Litteratur

Se også