Barkers ligning

Barker- ligningen er en implicit ligning, der bestemmer forholdet mellem positionen af et himmellegeme ( sand anomali ) og tiden, når man bevæger sig langs en parabolsk bane [1] . Denne ligning har været meget brugt i studiet af kometers baner [2] , hvis baner har en excentricitet tæt på enhed. På nuværende tidspunkt bruges denne ligning i astrodynamik [2]

Problem, der fører til Barker-ligningen

Løsningen af to-legeme-problemet giver baneligningen i polære koordinater i formen

r={\frac {p}{1+e\,\cos \vartheta ))

hvor er kredsløbsparameteren; er kredsløbets excentricitet; - sand anomali - vinklen mellem radiusvektoren for kroppens aktuelle position og retningen til periapsis. På den anden side gælder Keplers anden lov . $s$ $e$ $\vartheta$

r^{2}\,{\frac {d\vartheta }{dt}}=c

hvor er arealet konstant. Baseret på disse ligninger er det let at opnå et integral, der relaterer tid og den sande anomali i punkter og baner. $c$ $A_0$ $A_{1}$

{\displaystyle t_{1}-t_{0}={\frac {p^{2}}{c}}\,\int \limits _{\vartheta _{0}}^{\vartheta _{1} }{\frac {d\vartheta }{\left(1+e\,\cos \vartheta \right)^{2))))

Måden dette integral beregnes på afhænger af mængden af excentricitet (se Keplers ligning ). For en parabolsk bane kommer vi i dette tilfælde til en triviel kæde af transformationer $e=1$

t_{1}-t_{0}={\frac {p^{2}}{c}}\,\int \limits _{\vartheta _{0}}^{\vartheta _{1} }{\frac {d\vartheta }{\left(1+\cos \vartheta \right)^{2}}}={\frac {p^{2}}{4\,c}}\,\int \limits _{\vartheta _{0}}^{\vartheta _{1}}\left(1+{\rm {tg}}^{2}{\frac {\vartheta }{2}}\right) ^{2}\,d\vartheta =\venstre|{\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}=z,\,d\vartheta ={\frac {2\,dz}{ 1+z^{2}}}\right|={\frac {p^{2}}{2\,c}}\int \limits _{{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _ {0}}{2}}}^{{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}}\left(1+z^{2}\right)\,dz ={\frac {p^{2}}{2\,c}}\venstre[{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg} }{\frac {\vartheta _{0}}{2}}+{\frac {1}{3}}\left({\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{1 }}{2}}-{\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{0}}{2}}\right)\right]

Givet at kredsløbsparameteren er relateret til arealkonstanten

p={\frac {c^{2}}{\mu }}

hvor er den centrale krops gravitationsparameter og arealkonstanten i tilfælde af parabolsk bevægelse $\mu$

c=r_{\pi }\,v_{\pi }=r_{\pi}\,{\sqrt {\frac {2\,\mu}{r_{\pi ))))

hvor er afstanden til periapsis; - hastighed ved pericentret, når man bevæger sig langs en parabel, hvilket er en parabolsk hastighed . Derefter opnår vi kredsløbsparameteren og kommer frem til det endelige udtryk $r_{\pi }$ ${\displaystyle v_{\pi ))$ ${\displaystyle p=2\,r_{\pi ))$

t_{1}-t_{0}=r_{\pi }{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\venstre[{\rm {tg}} {\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{0}}{2}}+{\frac {1}{3}}\ venstre({\rm {tg))^{3}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{0} }{2}}\right)\right]

Nu accepterer vi, at det indledende punkt på banen er pericentret, og derfor transformerer vi den resulterende afhængighed til formen $\vartheta _{0}=0$

n\,\left(t-t_{0}\right)={\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}+{\frac {1}{3}}{\ rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta }{2}}

hvor er den gennemsnitlige bevægelse af himmellegemet. Som et resultat får vi en kubisk ligning af formen $n={\sqrt {\frac {\mu}{2\,r_{\pi }^{3))))$

S+{\frac {1}{3}}\,S^{3}-M=0

hvor , er den gennemsnitlige anomali af himmellegemets bane. Denne ligning kaldes Barker-ligningen . $S={\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}$ $M=n\,\left(t-t_{0}\right)$

Denne ligning repræsenterer den implicitte afhængighed af den sande anomali af tid, når et himmellegeme bevæger sig langs en parabolsk bane. $\vartheta (t)$

Løsning af Barker-ligningen

Ligningen

S+{\frac {S^{3}}{3}}-M=0

er en kubisk ligning skrevet i Cardanos kanoniske form og har en analytisk løsning. Ved hjælp af computeralgebra er det let at opnå denne løsning, der indeholder en reel og to komplekse konjugerede rødder

S_{1}=x-{\frac {1}{x)),\quad S_{2,3}=-{\frac {x}{2))+{\frac {1}{2 \,x}}\pm i\,{\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\left(x+{\frac {1}{x}}\right)

hvor $x={\frac {1}{2}}\,{\sqrt[{3}]{12\,M+4\,{\sqrt {9\,M^{2}+4}} }}$

Den fysiske betydning af dette problem svarer kun til den virkelige rod, så vi kan skrive

S={\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}=x-{\frac {1}{x}}

Givet denne rod, kan man beregne sinus og cosinus for den sande anomali

\cos \vartheta ={\frac {1-S^{2}}{1+S^{2}}},\quad \sin \vartheta ={\frac {2\,S}{1+ S^{2}}}\quad

hvorved, under hensyntagen til deres tegn, den sande anomali bestemmes $\vartheta \in [0,\,2\,\pi )$

Barkers ligning

Problem, der fører til Barker-ligningen

Løsning af Barker-ligningen

Se også

Noter

Litteratur