Tropisk geometri

Tropisk geometri er et felt i matematik , der dukkede op i 2000'erne , oprindeligt opstået i datalogi og er forbundet med algebraisk og symplektisk geometri . De genstande, der studeres i det, er grænsen for amøbebilleder af almindelige algebraiske sorter under degeneration af sidstnævnte. [en]

Navnet "tropisk" ærer den brasilianske skole [1] - pionerarbejdet udført af den brasilianske matematiker af ungarsk oprindelse Imre Shimon [2] [3] [4] , som studerede den tropiske semiring i forbindelse med datalogi og optimering teori [5] .

Uanset den brasilianske skole er udtrykket "tropisk" blevet anvendt på den samme gren af matematik siden midten af 1980'erne af V.P. Maslov . Ifølge ham beskrev "idempotent (tropisk) analyse" gennem termodynamikkens medium fra et økonomisk synspunkt den europæiske kolonisering af tropisk Afrika . Udtrykket "idempotent" i det videnskabelige samfund slog ikke rod, og udtrykket "tropisk" i forhold til den nye matematik, som mere harmonisk og rummelig, viste sig at være meget populær, selvom forskellige skoler lagde forskellige betydninger ind i det [6 ] [7] .

Grundlæggende begreber

Tropisk semiring (eller tropisk semifield ) - et sæt af reelle tal , udstyret med operationer med tropisk addition og tropisk multiplikation $\mathbb {R}$ $\plus$ $\odot$

x\oplus y=\max(x,y),\quad x\odot y=x+y.

Et tropisk polynomium af grad på planet er en stykkevis affin funktion af formen $d$

f(x,y)=\bigoplus _{{i+j\leq d}}\,a_{{i,j}}\odot x^{{\odot i}}\odot y^{{\odot j }}=\max _{{i+j\leq d}}(ix+jy+a_{{i,j}}).

På samme måde er et tropisk polynomium i det generelle tilfælde en stykkevis affin funktion af formen

f(x_{1},\dots ,x_{n})=\bigoplus _{{|J|\leq d}}\,a_{{J}}\odot x^{{\odot J}}=\ max _{{|J|\leq d}}\,(a_{{J}}+\sum _{i}J_{i}x_{i}).

En tropisk kurve på et plan svarende til et givet tropisk polynomium af grad er en graf på et plan, hvis toppunkter og kanter (endelige og uendelige) danner funktionens ujævnhedspunkter . Kanterne på denne graf anses for at være udstyret med multipliciteter: den kant, der adskiller de linearitetsområder, der svarer til mængden af grader , og er udstyret med en multiplicitet, der er lig med den største fælles divisor af forskellene og . $f$ $d$ $f$ $(i,j)$ $(i',j')$ $ii'$ $jj'$
Især er en tropisk lige linje en forening af tre stråler, der udgår fra et bestemt punkt og rettet nedad, til venstre og til højre op i 45°. Tropiske linjer har egenskaber, der ligner dem for almindelige linjer: nøjagtig en tropisk linje passerer gennem to vilkårlige punkter i generel position, og to tropiske linjer i generel position skærer hinanden i et enkelt punkt. $(x_{0},y_{0})$

Noter

↑ 1 2 Itenberg, Mikhalkin, Shustin. Tropisk algebraisk geometri, 2009 , s. vii.
↑ Arkiveret kopi (link ikke tilgængeligt) . Dato for adgang: 8. januar 2012. Arkiveret fra originalen 26. september 2006. (ubestemt)
↑ Math.dvi . Hentet 8. januar 2012. Arkiveret fra originalen 5. marts 2016. (ubestemt)
↑ http://theor.jinr.ru/~belyov/articles/Litvinov_dequantize.pdf (utilgængeligt link)
↑ Kilde . Hentet 8. januar 2012. Arkiveret fra originalen 23. januar 2012. (ubestemt)
↑ Kilde . Hentet 10. juli 2020. Arkiveret fra originalen 13. juli 2020. (ubestemt)
↑ Om tropeanalyse | SpringerLink . Hentet 10. juli 2020. Arkiveret fra originalen 10. juli 2020. (ubestemt)

Litteratur

Itenberg I., Mikhalkin G., Shustin E. Tropisk algebraisk geometri . - Basel: Springer , 2009. - viii + 104 s. — (Oberwolfach Seminarer).

M. E. Kazaryan . Tropisk geometri . - M. : MTSNMO, 2012. - 43 s. — (Sommerskole "Moderne Matematik"). - 1000 eksemplarer. - ISBN 978-5-94057-966-3 .